解析函数展开成罗朗级数的方法分析[1]

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1、解析函数展开成罗朗级数的方法分析摘要　本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析．通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂．因此，我们常采用间接法．关键词　双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开１　定义及定理定义：级数(1)(2)当且仅当时，（1）及（2）有公共的收敛区域即圆环H：r<

2、z－a

3、

4、(3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于：．(2)在H内解析．　　　(3)在H内可逐项求导p次(p=1，2，…)．(4)函数可沿H内曲线C逐项积分．前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有罗朗定理：在圆环内解析的函数必可展成双边幂级数：　　　　　　　(4)其中　　（n=0,±1,…）　　(5)为圆周，并且展式是惟一的（即由f(z)及H惟一地决定系数）定义：(4)称为函数在点a的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数．2方法分析要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多．首先罗朗级数是在圆环域内的奇

5、点a展开的，它的系数为：可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数．然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法．2.1　直接展开法即：依据罗朗定理的系数公式，（n=0，±1，±2，…）先求出系数，然后再写出．例1　在0<

6、z

7、<+∞内，将展为罗朗级数．解：　在复平面上除点在z0=0外，发处处解析，所以f(z)在圆环域0<

8、z

9、<+∞内解析．取c为圆周，则，（n=0，±1，±2，…）而当时，在上解析，；当时，由高阶导数公式，有即于是，得2.2间接展开法根据函数展

10、开为双边幂级数的唯一性，通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为罗朗级数时，仍然以泰勒级数为基础，常用方法如下：2.2.1用公式（

11、z

12、<1）．要将函数展开，关键在于将变形，使表示式中出现因式，且.这里的取定还跟圆环域的中心与半径有关．例2求的罗朗级数．解：函数有两个奇点z=0和1，从而可以在4个圆环域；；和(a>1正数)内展为罗朗级数．①在内，有＝　　　　　　　　　＝；②　在内，有　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　＝;③　在内，因为，所以有　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　＝;④　在(a>1正数)内，有　　　　　　　　　＝　

13、　　　　　　　　＝－　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝2.2.2代换法即在已知函数展开式中，通过代换因式得到新的罗朗级数．例3求函数在去心领域的罗朗级数．解：在内　　　　　　　　例4求函数在圆环域内展为罗朗级数．解：因为在内解析，所以在圆环域内，有，亦可写为令，即得：在内，有2.2.3　部分分式法当发为有理分式函数时，先分解为部分分式，然后展为罗朗级数．例5求函数在圆环域和内的罗朗级数展开式．解：因为，所以①在内，有②在内，有2.2.4微分方程法利用被展开函数的导数与函数的关系，建立微分方程，通过解微分方程求得函数的各阶导数值，进而写出函数的洛朗级

14、数展开式．一般适用于不易找到合适展开式可以利用，而函数导数有保留原来函数因式的情形．如的情形．例6在点的去心领域内，将函数展成罗朗级数．解：令，得．而是此函数的解析点，记此函数简记为，于是，，，，，，所以这里是的可去奇点，令则可化为解析点．2　结束语通过对罗朗级数求解方法的分析，举例．希望能给读者学习罗朗级数问题带来帮助，使读者学起来更容易，并且更好、更系统的掌握它．参　考　文　献[1]　钟玉泉．复变函数论（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，2004．184--192[2]　孙清华，赵德修．新编复变函数题解[M]．武汉：华中科技大学出版社，2001

15、．199--209[3]　余家荣．复变函数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2000．73--83致谢：　本文得到韩山师范学院刘波老师的指导，特此致谢！ThisarticlegivestheanalyticfunctiontolaunchChengtheLuobrightprogressiontwokindofmethodstheanalysis（namelydirectmethodofdevelopmentandindirectmethodofdevelopment）Byanalyzingthevisible,asaresultofdirect

16、methodrequestfunctionvariousstepsderivative,obv