高等数学曲面积分与曲线积分重点难点.doc

《高等数学曲面积分与曲线积分重点难点.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第十二章曲线积分与曲面积分一．基本要求1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。二．主要内容(见第二页至第十三页)1．主要内容联系（框图）2．

2、曲线积分和曲面积分（表格）3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图）4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格）5．在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图）6．全微分方程（框图）7．注解（注一至注十）（表格）三．考点与难点考点：1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯公式。3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。难点：应用

3、各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。四．例题及题解（见第十四页至第二十一页）例至例五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页）习题（一）至习题（十五）六．试卷（见第三十一页至第三十八页）试卷、试卷、试卷七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页）试卷、试卷、试卷答案及题解第46页共46页二．主要內容1。主要内容联系（框图）曲面积分联系曲线积分斯托克斯公式（空间上）意义推广特殊联系高斯公式格林公式（平面上）联系意义散度、通量。参见注解之注九旋度、环流量。参见注解之注十（物理意义）（化为）二重积分（化为）三重

4、积分在平面区域上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件应用对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分联系联系对弧长的曲线积分两类曲面积分之间联系公式两类曲线积分之间联系公式求全微分函数联系联系联系联系直接法参见解题步骤及注解之注八直接法参见解题步骤及注解之注七直接法参见解题步骤及注解之注四直接法参见解题步骤及注解之注三全微分方程（化为）定积分（化为）二重积分第46页共46页2．曲线积分和曲面积分（表格）（A）两类曲线积分及相互之间联系类型积分类型内容对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义平面：空间：（光滑曲线弧）───积分弧段（在

5、上有界）───被积函数（在上有界）───被积函数参见注解之注一（第12页）平面：空间：类似定义：、。（光滑有向曲线弧）───积分弧段（在上有界）───被积函数（在上有界）───被积函数参见注解之注二（第12页）几何意义及物理意义平面：；空间：(1)当被积函数为1时是曲线弧或的弧长。(2)平面：当非负，为与轴平行的柱面侧面积。[柱面底是，高是]。(3)线密度为被积函数的曲线弧或的质量。变力沿有向曲线所作的功变力沿有向曲线所作的功向量形式，,的定义见左侧。，的定义见左侧。第46页共46页性质1．（为常数）2．（）3．设在上，则特别地1．

6、（为常数）2．（，与的方向一致）3．是的反向曲线弧，则解题方法1．直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注三（第7页、第12页）。2．联系法：化为对坐标的曲线积分，再应用对坐标的曲线积分解题方法之直接法及公式法。参见解题方法及两类曲线积分之间联系（本页）。1，直接法：化为定积分。参见解题步骤及注解之注四（第7页、第12页）。当曲线积分与路径无关，选一条更方便路线（选与坐标轴平行的折线段替代规定路线）简化计算。参见曲线积分与路径无关的条件（第10页）。2，联系法：化为对弧长的曲线积分，再应用对弧长的曲线积分解题方法之直接法。参见解题

7、方法及两类曲线积分之间联系（本页）。3，公式法：对封闭的积分路线，应用格林公式化为重积分，对非封闭的积分路线，补上一条使之封闭，然后再应用格林公式化为重积分，（转化后的重积分及补上的曲线积分要容易计算），若积分路线为空间曲线上述格林公式改为斯托克斯公式即可。参见格林公式，高斯公式及斯托可斯公式（第9页）。两类曲线积分之间的联系（平面上）（空间上）。。是有向曲线在点处的单位切向量或第46页共46页（B）两类曲面积分及相互之间联系类型内容对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义（光滑曲面）───积分曲面（在上有界）───被积函数。参见注解之

8、注五（第12页）。（光滑有向曲面）───积分曲面（在上有界）───被积函数。参见注解之注六（第13页）。几何意义及物理意义当为空间薄片的面积。面密度为的空间薄片的质量。流速的流体（不可压缩）在单位时间穿过有向曲面的通量（流量）。向量形