一维径向流数值模拟.doc

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1、1一维径向单相流数学模型对于单井问题，通常将井底周围的流动看作一维径向流，此时最典型的特点是井底周围的流量大、压力变化快，而远离井底处流量小、压力变化小，因此采用不等距网格。为模拟一维径向单相流，首先要恰当的建立其数学模型，模型的假设如下：（1）一维径向流动；（2）单相流体且微可压缩；（3）不考虑岩石的压缩性（即岩石不可压缩，∅=常数）；（4）油藏是均质的，即k，∅为常数，流体粘度μ也为一常数。（5）不考虑重力的影响。根据质量守恒原理建立的柱坐标系下单相流的数学模型为：(1-1)当只存在径向渗流时，一维径向单

2、相流的数学模型可简化为：(1-2)考虑均质油藏、流体微可压缩、岩石不可压缩，上述数学模型可简化为：(1-3)假设k，∅，μ均为常数，则上述方程可简化为：(1-4)方程为(1-4)即为所求的一维径向单相流的数学模型。方程中的未知量为p(r,t)，通过求解可得沿径向上各点的压力分布及其随时间的变化。初始条件为：P(r,0)=pi(rw≤r≤re)(1-5)边界条件包括外边界和内边界。相应的外边界条件如下：(1)外边界：1)封闭外边界：(1-6)2)定压外边界：(1-7)(2)内边界：1)定产内边界：(1-8)2)

3、定流压内边界：(1-9)式中，r-径向半径，cm；rw-井底半径，cm；re-边界半径，cm；p-油藏中各点的压力，10-1MPa；pi-初始油藏压力，10-1MPa；pwf-井底流压，10-1MPa；t-时间，s；∅-孔隙度，小数；k-渗透率，μm2；C-流体的压缩系数，1/MPa；μ-流体粘度，mPa∙s；h-油层厚度，cm；Q-井的产量，cm3/s；渗流微分方程(1-4)与初始条件、边界条件一起，构成了一维径向单相流问题完整的数学模型。通过求解可得在各种不同的内、外边界条件下，地层中各点的压力分布，以及

4、井底流压pwf或产量。1差分方程的建立为适应一维径向流井底压力变化快、远离井底附近压力变化慢的特点，网格划分采用不等距网格，即井底附近网格划分密一些，远离井底要疏一些。在此选取等比级数网格，即：(2-1)于是：(2-2)这样实现了井底附近网格小，而远离井底处网格压大的问题。对方程(1-4)左端项进行差分，进行一系列的变换处理，可得：(2-3)上述差分格式中，由于在井底附近ri较小，则很大，因此易造成计算的不稳定，故应将空间坐标做适当的变换，即将一维的径向坐标转换为直角坐标。为把一维径向坐标r转换为直角坐标x，

5、需要找到r与x的对应关系。由式(2-2)可得：(2-4)令则：(2-5)于是，我们将不等距的r坐标转换成了等距离的x坐标。两种坐标之间的对应关系如图1所示。图1不等距r坐标与等距x坐标之间的转换已知rw，re和网格数n时，可以求出转换后的网格大小∆x。由可得：(2-6)由式(2-5)可看出，r与x之间的对应关系为：(2-7)于是：(2-8)而为方程的特解，因此数学模型(1-4)的左端项可化为：(2-9)于是数学模型(2-4)可转换为：(2-10)将式(2-8)代入上式，得：(2-11)通过上述过程，将不等距的

6、径向坐标r转换成了等距离的x坐标，而且将数学模型中的微分方程也进行了坐标转换。下面用隐式差分格式对转换为等距离x左边的微分方程(2-11)进行差分求解。方程(2-11)的隐式差分方程为：(2-12)令(2-13)则式(2-12)为：(2-14)令则：(2-15)式(2-15)即为一维径向流时的差分方程表达式。当i和∆x确定以后，根据上式用追赶法解三对角方程矩阵方程（也可直接求解），即可确定任一半径处的压力分布。1一维径向单相流模拟事例3.1模拟条件与要求已知井径rw=0.1m，外径re=250m，流体粘度μ=

7、1mPa∙s，厚度h=5m，渗透率k=0.05μm2，孔隙度∅=0.25，综合压缩系数C=5×10-3MPa-1，原始压力pi=10MPa，最大模拟时间tmax=360d，时间步∆t=30d，网格数n=30.外边界定压p

8、r=re=10MPa，内边界定产Q=15m3/d。求各点网格点在不同时刻的压力分布，并绘图表示t=90，180，270，360d时各网格点的压力沿径向的分布情况。3.1系数矩阵的构建根据3.1中给定的条件，可知本事例采用外边界定压，内边界定产的边界条件，该类边界条件一般形式为：(3-1)下面

9、主要构建在上述边界条件下，方程(2-15)对应于i=0到n的各个网格所构成的线性代数方程组。(1)当i=0时，即内边界处，首先将内边界条件转换为x坐标。转换式如下：(3-2)上式的差分方程为：(3-3)令,则方程(3-3)可简化为：(3-4)(2)当i=1到n-2时，按方程(2-15)列方程。(3)当i=n-1时，由式（2-15）可得：(3-5)(4)当i=n时，pn=pe已知，因此只需要求第0到n