三角函数的恒等变换.doc

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1、三角函数的恒等变换　教学目标1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．重点难点重点是掌握所有三角公式，并能应用它对三角函数式进行变形．由于公式多，题目杂，因此对三角关系式进行变形时，要通过观察、分析，合理的选择公式，灵活的运用公式，这是难点．另外，在三角形中应用三角变换公式，也是难点．教学过程一、三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义

2、．(2)明确公式成立的条件，例如，tan2α+1=sec2α，当且仅当a≠k(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα．它使得“弦”可以用“切”来表示．(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．(5)几个常用关系式①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式．A．恒正　　　　　　　　　　　　　　B．恒负C．可以为零　　　　　　　　　　　　　D．可得任意实数分析　答案为A．分析　

3、用化弦法．例3　已知sinθ+cosθ=m，tanθ+cotθ=n，则m，n的关系是______．分析　用化弦法得②代入①得m2n=n+2．2．诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角．(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．分析　使用诱导公式，并用化弦法．3．两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用．例6　计算：．(2)公式的变形应用要熟悉．熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切的和与积的关系．分析　(1)中涉及80

4、°与70°的正切和与积，(2)中涉及α+β与α的正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式．(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．分析　因为β=(α+β)-α，所以求cosβ用余弦两个角差的公式．分析　因为2β=(α+β)-(α-β)，所以例10　已知3　sinβ=sin(2α+β)，则tan(α+β)=2　tanα．证明　将已知变形：3sin(α+β-α)=sin(α+β+α)3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα．等式两边同时除以cos(α+β)·cosα，

5、即得tan(α+β)=2tanα．4．倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1-(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．对sin3α，cos3α的公式应记住．(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，例11　求值：(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，

6、得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想到正弦的2倍角公式，分析　使用　1±cosα的升幂公式，便于开方．(2)5sin2θ-3sinθ·cosθ+2cos2θ．分析　由已知得tanθ=-4．(2)原式可以加一个分母sin2θ+cos2θ，这样分子、分母同时除以cos2还可以这样研究：将sin2θ、cos2θ降幂，使用万能公式．原式=5·5．和差化积、积化和差公式这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．(3)对下列关系式要熟记：例14　将下列各式化积：(1)1-sin2α-cos

7、2α；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析　对(1)，题中有　1±cosα时，通常都用升幂公式．对(2)、(3)，先将乘积化和差，再和差化积．例15　求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析　可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更简单．(1)cos(α-β)；　(2)sin(α+β)-2cos(α+β)．解(