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1、函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g
2、[f(x)]的区别.跟踪训练4 已知函数f(x)＝.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].解 (1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f()＝＝.5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f()；(2)若f(x)＝5，求x的值.解 (1)f(2)＝22＋2－1＝5，f()＝＋－1＝.(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2，或x＝－3.(2)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝_____
3、___.答案 6解析 f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一
4、次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x
5、x0}，值域为{y
6、y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③（记住图像）解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；解：∵，∴顶点为(
7、2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y
8、y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：
9、对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值;⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y
10、=3+的值域解：由算术平方根的性质，知≥0，故3+≥3。∴函数的值域为 .2、求函数的值域解：对称轴1单调性法例3求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=－,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y
11、y≤4/3｝。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确
12、定函数的值域。练习：求函数y=3+的值域。(答案：｛y
13、y≥3｝)2换元法例4求函数的值域解：设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=的值域。（答案：｛y
14、y≤－3/4｝求的值域；例5（三角换元法）求函数的值域解：设小结：（1）若题目中含有，则可设（2）若题目中含有
