第四章 非线性规划2-sumt方法(罚函数法)

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1、第二节SUMT方法（罚函数法）一、SUMT方法的原理SUMT（sequentialunconstrainedminimizationtechnique）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。它是一种不等式约束最优化问题的间接解法它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无

2、约束最优化问题进行求解。所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。引例一：s.t显然f（X）的最优点为x*=b，对应的最小值为f（X*）=ab用SUMT求解函数的最优解构造函数—可变化乘子，它是一个很小的正数。其最优解为：此时对应的的最小值为最优点和最小值均是的函数。当取不同值时，它们有不同的值，而当时，，，即最后收敛于约束最优点。以上分析从理论上说明了无约束最优化问题与约束优化问题之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。问题：如何构造

3、新函数？或者说新函数具有什么特点？特点：对于某一个（即当它为某一定值时），当设计点在可行区中且距离边界较远时，其对应的新函数的函数值不是很大，而当设计点离约束边界越近，函数值越大，特别是当设计点靠近约束边界时，一个小小的接近会引起函数值的剧烈增加。因此在对新函数进行最优搜索过程中，搜索方向不会向边界方向靠近，如果向边界靠近，会通过函数值的陡增进行惩罚。这是罚函数法的由来。当然必须保证设计点在可行区内。（思考：如果不在可行区内会出现什么情况？）就是罚函数，为“惩罚因子”。由于的上述特征，对于处在可行区中的设计点

4、就像有一堵“围墙”一样，阻止最优搜索进入非可行区，故又称作“围墙函数”，引入的乘子又称为“障碍因子”。以上是内点法的理论分析引例二：目标函数与约束函数同上s.t构造新函数：式中：—惩罚因子，任意一个很大的正数对于这一新函数，当设计点在可行区时，即不满足约束条件时，越大，也越大，它可看作是对不满足约束条件的一种惩罚。这时，当=，，，同样可以得到一系列曲线，可用无约束优化方法求其极小点，当时，验证：以上对于不满足约束条件设计点的分析分析是外点法的理论依据。两个例子对罚函数法原理进行了理论分析，罚函数法通常分为内点

5、法、外点法以及混合法，本节主要介绍内点法、外点法的具体做法。二、SUMT内点法一）内点法原理内点法将新目标函数定义于可行区域内，这样它的初始点以及后面产生的迭代点序列，亦必定在可行区域内。它是求解不等式约束优化设计问题中一种十分有效的方法。内点惩罚函数法就是以不同的加权参数来构造一序列无约束的新目标函数，求这一序列惩罚因数的无约束极值点：，使它逐渐逼近原约束问题的最扰解，而且不论原约束问题的最优点在可行域内还是在可行域边界上，其整个搜索过程都在约束区域内进行。当设计点趋向于边界时，由于不等式约束函数趋近于零，

6、其惩罚项的函数值就陡然增加并趋近于无穷大，这好像在可行域边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终保持在可行区域内。因此，也只有当惩罚因子趋近于零时，才能求得约束边界上的约束最优点。二）内点法算法从可行区域内的某一个初始点开始，再选取适当的初始值，求出惩罚函数的最优点。然后将它作为下一次求无约束极值的初始点，并把减至，再求的最优点，如此继续下去，直至收敛于原约束问题的最优点。其具体算法如下：三）内点法算例四）内点惩罚函数法使用中的几个问题(1)初始点必须是严格可行的，一般可以来用随机法来产生。而且要求它不应靠近约

7、束边界，远离最优点，这样容易保证计算过程稳定可靠。(2)选取适当的惩罚因子的初始值，对于SUMT方法的正常计算及其计算效率都有一定的影响。在SUMT方法方法中，只有r→0时，惩罚函数的极值点才是原问题的约束最优解。因此，要想在一开始就通过取较小的值来加快收敛速度，这往往是不会成功的。即使采用最稳定的最优化方法，函数也难于收敛到极值点。相反，若选取较大的值．就会增加求无约束极值的次数。因此，为了减少迭代次数，应取较小的值，但为了使求极值的过程稳定些，又应将值取大些。通常，如果初始点是一个较保守的设计(即离约束边

8、界较远)，那么就应该这样来选择值，即可使初始点的障碍项或惩罚项不要在惩罚函数中起支配作用。由此得到的一种选择的方法是用这个办法通常能得到相当合理的初始值。一般推荐P=10，对于非凸规划问题，P=1~50；但当初始点接近某个或几个约束边界时，上式的值就太小了，建议取P=100。当目标函数和约束函数的非线性程度不高时，直接取也可取得较好效果。总的来说，的取值没有固定的方法，它与目标函数和约束函数的性态和