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1、平面向量一、向量的概念及线性运算向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0＝共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a向量的线性运算向量运算定义法则(或几
2、何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)
3、λa
4、＝
5、λ
6、
7、a
8、；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1、已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为10；同向的
9、单位向量为。解：因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，
10、
11、＝13，与共线的单位向量为±＝±(－5,12)＝±(－，)．同向的为(－，)2、（假期作业P11T2，7,10,11）3、（1）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为（）A.B.C.D.解析 设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.
12、（2）设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )A．3B.C．2D.解析：选A 设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即＋2＝0，所以＝－2，说明M，O，N共线，即O为中位线MN上的靠近N的三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.（3）设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )A．3B．4C．5D．6解析 ∵D为AB的中点，则＝(＋)
13、，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.4、（1）在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，10＝b，试用a，b表示.解 ＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.又＝＋＝＋m＝＋(＋)＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b.（2）如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.解 设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb
14、－a＝(m－1)a＋nb.＝－＝－＝－a＋b.[3分]又∵A、M、D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.[5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴与共线．[10分]∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴，消去t1得，4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[12分]5、（1）在△ABC中，N是AC边上一
15、点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )A.B.C．1D．310解析：选B 如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B、P、N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.（2）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析 ∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.（3）已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关
16、系是( )A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析：选C 由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上，选C.二、共线（平行）定理若＝λ，则A、B、C三点共线．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝06、已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)
17、a＋3b
18、；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)
