旋转那些事（段广猛）-贺基旭编排.pdf

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1、高邮市赞化学校段广猛QQ：812535278旋转变换专题一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点，按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转．旋转中心绕哪个点旋转（旋转中心是谁）？旋转包含三要素：旋转方向向哪个方向旋转（顺时针方向还是逆时针方向）？旋转角度转动了多少度？例1如图1，线段AB绕着点A旋转至AC位置，旋转中心为点A；旋转方向为顺时针方向；旋转角度为α．BαAC图1二、小试牛刀例2如图2，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC，E为BC上的一点,且AB=AD，AE=5．求四

2、边形ABCD的面积．AAFDDBECBEC图2图3我我我我方法一（旋转法）：解本题的关键是图中已有的两条相等的线段AB=AD，这就为“旋转”奠定了基础．将AB绕着点A按逆时针方向旋转90°至AD位置，则由点A出发的第三条线段AE也作相同的旋转至AF位置，得到如图3所示的辅助线．可以证出C、D、F三点共线（即∠ADF+∠ADC＝∠B+∠ADC=180°），进而解决问题．方法二（双直模型）：如图3，过点A作AF⊥CD于点F，可由条件推出△ABE≌△ADF，这样也达到了与上述旋转同样的目的，这也是学生容易想到的

3、辅助线．前面的“旋转法”，必须证明B、C、F三点共线；而后者必须证明△ABE≌△ADF，两者各有裨益．三、“旋转一拖二”（全等）·1·高邮市赞化学校段广猛QQ：812535278如图4，等腰△ABC绕着点A按逆时针方向旋转α度至△AB`C`位置，易知△ABC≌△AB`C`（即旋转后的图形与旋转前的图形全等）；如图5，若连接BB`、CC`，易证明△ABB`≌△ACC`（SAS）．AC'AC'ααB'B'DBCBC图4图5我我我我这就是传说中的“旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后会有两个全等三角形，尤其是第二

4、个全等往往是解题的关键．另外，结合“8字形”，易证∠BDC=∠BAC．上述模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型”．例3特例(1)——共顶点的双等边三角形模型如图7（或图8），△ABC和△AB`C`都是等边三角形（AB绕A逆时针旋转60°至AC位置、AB`绕A逆时针旋转旋转60°至AC`位置（如图6（或图9））），易知△ABB`≌△ACC`（SAS）．AAAC'AC'C'C'B'B'我B'B'BCBCBCBC图6图7图8图9例4特例(2)——共顶点的双等腰直角三角形模型如图10、图11、图12、图13，

5、△ABC和△AB`C`都是等腰直角三角形（AB绕A逆时针旋转90°至AC位置、AB`绕A逆时针旋转旋转90°至AC`位置），易知△ABB`≌△ACC`（SAS）．C'C'C'C'AABCBCAAB'B'BCBCB'B'图10图11图12图13五、实战分析·2·高邮市赞化学校段广猛QQ：812535278⌒例5如图14，已知等边△ABC内接于⊙O，点P是BC上一动点（不与B、C重合），求证：PA=PB+PC．AAAOOOQBCBCBCPPPQ图14图15图16我我我我我我我我解法一（截长法）：如图15，在P

6、A上截取PQ=PB，易证明∠BPA=∠CPA=60°，这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABQ≌△CBP(SAS)，故PC=QA，所以PA=PQ+QA=PB+PC，得证．解法二（补短法）：如图16，延长CP至点Q，使PQ=PB，易证明∠BPQ=60°，这样△PBQ为等边三角形，由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABP≌△CBQ(SAS)，故PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得证．纵观上述两种传统解法，若是用旋转的眼光来看，就更有趣了．观察到原题中点B出发有三

7、条线段BA、BC、BP，其中BA=BC，这就为旋转作了很好地铺垫．如图15，解法一可以看成BP、BC同时绕点B按逆时针方向旋转60°所得，即将△PBC绕着点B逆时针旋转60°至△QBA．若是这样作辅助线，难在证明P、Q、A三点共线（提示：∠AQB=∠CPB＝120°，∠BQP＝60°可证）．如图16，解法二可以看成BP、BA同时绕点B按顺时针方向旋转60°所得，即将△PBA绕着点B顺时针旋转60°至△QBC．若是这样作辅助线，难在证明Q、P、C三点共线（提示：∠BPQ＝60°，∠BPC＝120°可证）．总

8、而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心B按顺时针或逆时针方向旋转60度，这样BA与BC必然重合（这是由BA=BC产生的结果）．BP则旋转60至BQ位置，构造出“共顶点双等边三角形模型”，得出全等，解决问题．但旋转的缺点是麻烦在证明“三点共线”上，这也是对学生而言易忽略的地方．建议，在解题中，用“旋转”的眼光立即想到解题方案，但书写过程可以借用“截长补短”的方法进行，两种想法相得益彰．但后者必须证明全等．规律总