积分物理应用与场论.doc

《积分物理应用与场论.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第12章各类积分的物理应用面积分在物理上的应用，包括质量、质心、转动惯量、引力、梯度、散度、旋度等．9.1重积分、第一类线面积分的物理应用1质量质量记为。1．当是平面区域的面密度时，；2．当是空间区域的体密度时，；3．当是曲线的线密度函数时，；4．当是曲面的面密度时，。259第12章各类积分的物理应用2质心图9.1在物理学中我们知道，在水平面上，如果质点离转轴的距离为，则重力矩是。重力矩与有关即与环境有关。为了与环境无关，定义对静矩为。设的体密度为。的微元（图9.1）的质量，对平面的静矩。因此类似

2、地，如果把捏到一点后对各坐标平面的静矩与原来等效，则称为的质心。因此类似地，在平面上，平面曲线空间曲线曲面259第12章各类积分的物理应用259第12章各类积分的物理应用图9.2【例9.1】求均匀的球顶锥体(如图9.2)的质心，设该球的球心在原点，半径为，锥体的顶点在原点，对称轴为轴，锥面与轴交角为．解　均匀即密度为常数（此时质心又称形心）。由对称性知，，而，，故．所以质心坐标为．259第12章各类积分的物理应用【例9.2】求质量均匀分布的半球面的质心．解　由对称性知，根据(9.1)式得，而，故，

3、所以质心为．259第12章各类积分的物理应用3转动惯量我们知道，空间中一质量为的质点对转轴的转动惯量为，为质点到的距离．设为一个物质几何体，密度连续，在中任取一小块(其度量也用相同记号)，在中任取一点，则小块的质量近似为，关于轴,轴,轴的转动惯量分别为，，。所以关于轴,轴,轴的转动惯量分别为：．平面区域、曲线时类似思考。【例9.3】求半径为的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转动惯量．解　建立如图9.3所示坐标系，关于轴的转动惯量为：图9.3其中为半圆薄片的质量．【例9.4】求螺旋线：对轴

4、的转动惯量，曲线的密度为常数．解　．259第12章各类积分的物理应用4引力图9.4设有一几何体，密度连续，外有一质量为的质点记为，求对的引力．根据万有引力公式(其中是质点之间的距离，为引力常数)，如图9.4，在中任取一小块(其度量用相同的符号)，则质量元素为，将质量元素看成点处质量为的质点，则质量元素对质点的引力大小为：，，引力元素沿与坐标轴平行方向的各分量为：同理：；所以．【例9.5】设半径为的匀质球体，占有空间闭区域，求它对位于()处的单位质量的质点的引力．解　设球体密度为常数，由对称性知引力

5、分量，对，有259第12章各类积分的物理应用．9.2　场论初步1　场(1)场：设是一个空间区域。上的一个数量场就是上定义的一个数量函数；上的一个向量场就是上定义的一个向量函数。例如温度场、密度场、电位场是数量场；而力场、速度场是向量场．若该场中物理量在各点处的值不随时间变化，则称该场为稳定场，否则称为不稳定场．本节只讨论稳定场．(2)等值面：给定了数量场，则是空间一张曲面，在该曲面上保持常值，称该曲面为等值面．等量面只能粗略地刻画数量场的分布规律，下面将引进梯度、散度、旋度的概念来更深刻地刻画数量

6、场与向量场的属性．2　数量场的方向导数与梯度函数在点处沿方向的方向导数为：，其中所对应的单位向量为．定义9.1数量场在点的梯度为向量，是等值面指向增加方向的法向量。259第12章各类积分的物理应用其中为向量与向量间的夹角。3　向量场的通量与散度(1)　通量设为向量场，为有向曲面，则称曲面积分为向量场穿过曲面的通量．若为流速场，则的物理意义为在单位时间内流体通过曲面的体积即流量．(2)　散度设为向量场，在场中一点的某个邻域内作一包含点在内的任一闭曲面(方向取外侧)，设其包含的空间区域为(体积也用相同

7、记号)，则为往外流的通量。有东西流出来意味着里面有泉。为中的平均泉强度。极限为点的泉强度，称为向量场在点处的散度（对于一点来说，“泉”和“散”是同义词），记为，即．散度就是泉强度。散度为一数量．若是流体的流速，>0，则在点有泉；若，则在点漏走流体；若在点表示该点无泉无漏．称的向量场为无源场．散度是一个由向量场所产生的数量值函数，称作散度场．散度有如下计算公式:259第12章各类积分的物理应用定理9.1　设在空间某区域有一阶连续偏导数，向量场，则在定义域内．证　取包含点的小区域，其边界曲面为，则由高

8、斯公式和积分中值定理得，．用通量与散度的记号，高斯公式可表示为．此说明高斯公式的物理意义为：穿出封闭曲面的通量，等于所围的区域上的散度的“总和”即散度在上的三重积分．259第12章各类积分的物理应用4　向量场的环量与旋度(1)　环流量图9.5设为封闭曲线，为向量场，我们知道，将理解为力时，则为力沿曲线所作的功．下面我们将看作流速场，看看的物理意义．设装有叶片的轮子，平放到有旋涡的河面上，轮子就会旋转，旋转快慢显然与流速在叶片上每点的切向分量有关(如图9.5)，可以用来刻画环形流动的