多元函数的极限与连续.doc

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1、第十六章 多元函数的极限与连续1． 证明: 对任何, 它的导集必为闭集.2． 设是中两个不相交的开集, 证明.3． 证明: 对任何, 它的边界必为一闭集.4． 证明闭域必为闭集.5． 讨论下列函数在时的极限不存在:(1)   ;                    (2)  ;(3)   .6.  设在点的某邻域内有定义, 且满足:(1) 在中, 对每个, 存在;(2) , 关于中的一致.试证明:              .7.  设. 证明:(1) , 使得在 或 上, 有                                     ;(2) .8.  设

2、. 证明:(1) ;(2) 不存在.9.   证明: 在上一致连续.10.  设是上的实值函数. 证明: 在上连续的充要条件是对于中的每个开集, 集合                      亦必为开集.11.  证明: 若为一有界开集, 则在上一致连续的充要条件是:在上连续, 且对任何点, 极限都存在(即在上的连续性能延拓到).12.  设为连续函数. 试证: 存在(), 则在上一致连续.13.  设, . 试证在上一致连续的充要条件是: 对中每一对点列, , 如果, 便有                               .第十六章 多元函数的极限与连续一、

3、     选择题（每小题2分）   1、极限 的涵义是（    ）A、 对  ，总 ，当  时，有 。B、 若，对  ，当  时，有 。C、 对每个 ，总 ，当  时，有 。D、若， ，当  时，有 。2、设 ，则（    ）A、存在且等于0                 B、不存在C、存在可能不为0               D、可能存在，也可能不存在3、函数 在  间断，则（       ）A、 函数在 处一定无定义B、 函数在 处极限一定不存在C、 函数在 处可能有定义，也可能有极限D、函数在 处一定有定义，且有极限，但极限值不等于该点的函数值4、（     ）A

4、、 1         B、不存在        C、       D、05、函数 在 处存在二重极限是函数在该点连续的（     ）A、必要条件    B、充分条件    C、充要条件     D、既非充分又非必要条件6、函数 在原点（0，0）间断，是因为（         ）A、在原点无定义                         B、在原点无极限C、在原点有极限，无定义                 D、在原点有极限但不等于其函数值7、下面断语正确的是 （    ）A、点集的界点一定是其聚点               B、开集一定是开域C、闭域一定是闭集 

5、                      D、 闭集一定是闭域8、下面断语正确的是 （    ）A、 区域上的连续函数必有界B、区域上的连续函数必有最大值和最小值C、区域上的连续函数必一致连续       D、 在区域上连续， 为D 的内点，且， 则对 必  ，使二、     判断题  （每小题2分）   1、若函数 在连续，则其二重极限必存在。          （        ）2、若函数 在 点处的二重极限和一个累次极限都存在，则它们必相等。（        ）3、当函数 在其定义域的内点连续时，在 和在都连续。                          

6、                              （       ）    4、若在 和在都连续，则 在点处必连续。                                                                   （      ）    5、点列收敛于的充要条件是。                                                                  （      ）    6、平面上的有界无限点列必存在收敛的子列。                     （      ）    7、

7、平面点集E的聚点必是它的内点。                             （      ）    8、若函数 在 点处的两个累次极限都不存在，则二重极限必不存在。                                                                   （       ）    9、若函数 在 点处的两个累次极限都存在且相等，则二重极限必存在。