重点初中数学竞赛——实数的若干性质和应用.doc

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1、初中数学竞赛实数的若干性质和应用　实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．　　用于解决

2、许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．　　性质1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．　　例1证明循环小数是有理数　　分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证：　　无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理数与无理数的和、差、积、商不一定是无理数.也就是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．　　性质2设a为有理数

3、，b为无理数，则　　(1)a+b，a-b是无理数；　　　　有理数和无理数统称为实数，即　　在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．　　例2求证是有理数　　分析　　证：　　　　　　　　　分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数

4、与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．　　证用反证法．　　　　　　　例4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2为有理数，a为无理数)，则a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．　　分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．　　证　　　　　是无理数，并说明理由．　　　例6已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．　证：　　说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，

5、以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．　　例7已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？　　b4+12b3+37b2+6b-20的值．　　例9求满足条件　　的自然数a，x，y．　　　　　　　　　例10设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a1a2a3…an…是有理数．练习三　　1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？　　　2.证明：是有理数3.比较和的大小　　　5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α

6、+βγ=0，求证：α=β=0．