年级第讲相交线和平行线.doc

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1、第14讲相交线和平行线知识方法扫描1．相交线两条直线相交,得到四个角,其中有一条公共边的两个角互为邻补角;而没有公共边的两个角叫做对顶角,对顶角相等.两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直。垂线有如下的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线内各点的连线中，垂线段最短。2．平行线在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线。经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。本节的重点是平行线的判定和性质，即：同位角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；反

2、之有：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；反之有：两直线平行，同旁内角互补。经典例题解析例1．求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则∠AOC与∠BOD成对顶角。设OE、OF分别为∠AOC、∠BOD的平分线，∵∠AOE=∠AOC∠BOF=∠BOD，且∠AOC=∠BOD∴∠AOE=∠BOF又∵∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°∴∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°，即∠EOF=180°∴OE、OF在同一直线上。例2．如果一个角的两条边分别同另一个角的两条边互相平行,那么这

3、两个角之间有什么关系?答：这两个角相等或互补。（1）当组成这两个角的两对射线方向对应相同或相反时，这两个角相等，如下图中，∠1=∠2。（2）当组成这两个角的两对射线，一对方向对应相同，另一对方向相反时，这两个角互补。如下图中，∠1+∠2=180°。8/8例3．（2005年第16届“希望杯”数学邀请赛试题）如图所示，两直线AB、CD平行，则解如图，分别过E、F、G、H作AB、CD的平行线，则相邻两条平行线之间的一对同旁内角之和是180。，共有5对同旁内角，所以故选（B）.例4．（第12届“希望杯”初一第1试）已知,，证明证明过C

4、点作CF∥AB（如图），则CF∥AB∥ED例5．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，求证:DG∥BA。8/8证明．∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD,∴∠BEF=∠BAD.∵∠BEF=∠ADG，∴∠ADG=∠BAD,∴DG∥BA。例6．（第4届全国初中数学公开赛试题）如图，六条直线满足交于一点，则图中同旁内角的对数是。解一个“三线八角”的图形，是由两条被截直线和一条截线组成，其中有两对同旁内角．下面我们先按截线来分类计算“三线八”的图形的个数：①截线为被截直线可为共有5个“三线八角”的图形。②截线为被截直

5、线可为共有6个“三线八角”的图形．③截线为同①，共有5个“三线八角”的图形．。④截线为同②，共有6个“三线八角”的图形，⑤截线为被截直线可为共有9个“三线八角”的图形．⑥截线为被截直线可为8/8共有10个“三线八角”的图形．所以一共有5+6+5+6+9+10=41个“三线八角”的图形，从而有82对同旁内角．例7．（2006年第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题）平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度，请说明理由．解任取一点O，过O作5条直线分别与已知的5

6、条直线平行．所得的5条直线将O点处的周角分为10个角，其中必有一个≤即已知5条直线所成的角中有一个不超过36°．例8．（1998年第9届“希望杯”数学邀请赛试题）（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.解（a）如图，在平面上作二直线m1∥m2∥m3，n1∥n2∥m3。由于彼此平行的直线不相交，所以图中每条直线都恰与另3条直线相交

7、.（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.我们按直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为个，因交点个数应为整数，矛盾。（所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。原版赛题传真同步训练一选择题1．（1991年第2届希望杯数学邀请赛试题）两条相交直线所成的

8、各角中()。（A）必有一个钝角（B）必有一个锐角（C）必有一个不是钝角（D）必有两个锐角8/81．C2．(2003年第8届全国公开赛试题)对于下图，有以下列判断：①∠1与∠3是内错角；②∠2与∠3是内错角；③∠2与∠4是同旁内角；④∠2与∠3时同位角.其中，正确的说法有（）（