射影簇与态射毕业论文设计

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1、青岛大学本科生毕业论文（设计）引言代数几何的发展是波浪式的，各个阶段都有它不同的主流观点和诠释方式。19世纪末期出现了Riemann的函数论方式，Brill和Noether的更趋于几何直观的方法，Kronecker,Dedekind和Weber的纯代数研究方法，随后以Castelnuovo,Enriques和Severi为代表的意大利学派在关于代数曲面的分类上做出了卓有成效的工作。20世纪以周炜良，Weil和Zariski为代表的美国学派给予意大利学派的几何研究成果以坚实的代数基础，更近以来Serre和Grothendieck领导的法国学派使用概型和上同调的语言改写了代数几何的基础，这种新的

2、技术在解决以往问题时显示出更强大的威力。本文阐释了古典代数几何中两个最基本的概念：射影簇和态射。对它们的研究是一项具体清晰的颇有趣味的工作，而且培养几何直观的洞察力是深入学习现代代数几何的基础。需要说明的是，本文中关于它们的性质的研究，是置于交换代数和基础拓扑学的逻辑语言之上的。第一章对射影簇的描述是从仿射簇开始的，因为射影簇的局部仿射，并且对仿射簇的研究可转化为对交换代数的研究；射影簇的很多性质与它的嵌入方式有关，因此第一章还介绍了射影空间中两个常见的重要的嵌入映射；关于簇的维数和理想的生成元的个数问题，本文只叙述了一些最基本的结果，对这方面更深入的关于完全交和集合式交的问题未做讨论。第二

3、章介绍了簇与簇之间的态射，及簇与簇的同构。用正则函数的概念来定义态射，于是又引出局部函数环、簇的函数域，这些都是同构态射下的不变量；对不变量的寻找是对代数簇进行分类的基础工作；关于坐标环与函数环的讨论使我们可以加强对二者的认识，且可部分的将簇之间的几何关系转化为函数环之间的代数关系来研究；最后讨论了几个具体的态射，尤其介绍了几个低维簇之间的同构，掌握好它们是基础，即对高维的研究是有益处的。本文的部分命题和几乎所有例题来自于Hartshorne的《AlgebraicGeometry》第一章课后习题，在这一方面还没有前人做过，因此这些工作均由笔者独立思考所得，难免有疏忽之处，望请指正。-31-青

4、岛大学本科生毕业论文（设计）第一章射影簇代数几何中最基本的研究对象是簇。从几何上讲，它就是二维空间中曲线或者三维空间中曲面或“空间曲线”的概念的扩展。事实上从代数上来看，一个簇是某个多项式或者一族多项式的公共零点的集合。首先，我们不妨先从熟悉的仿射空间入手。1.1仿射簇的基本概念及性质设是代数闭域，表示上仿射空间，表示多项式环。标记中一组多项式集合的公共零点集为。设是生成的理想，则，我们把形如这样的集合称为的代数集，于是代数集就是中某个理想的公共零点集。如果要进一步研究这个零点集的性质，首先自然要问，中什么样的理想的零点集是非空的，即什么样的理想才值得研究呢？Hilbert在19世纪末回答了

5、这个问题，他提出了著名的“Hilbert零点定理”。定理1.1.1（Hilbert零点定理）令是代数闭域，是多项式环=中一个理想，若在中的每一点都取值为零，则必存在整数使得。零点定理还有一个所谓的弱形式可表述为：对应于多项式环中真理想的簇是非空的，即构成一个理想（不是整个环）的多项式一定有某些公共零点。与代数基本定理相比较，我们会发现二者相似，后者说的是一个未知量的多项式的零点集合是非空的，因此零点定理有时也被称为代数几何基本定理。反过来，如果我们有一些点集，那么它们可以用什么样的多项式去刻画？于是我们有这样的标记：对的任意子集，定义在中的理想。有了上面的这些准备之后，为了更好的研究簇的几何

6、性质，我们需要对仿射空间-31-青岛大学本科生毕业论文（设计）赋予一个拓扑。不难证明任意个代数集的并仍是代数集，两个代数集的交仍是代数集。于是规定开集为代数集的补集，就可得到的一个拓扑。我们把它称为拓扑。拓扑空间中下面这些概念对于几何刻画是必需的。定义1.1.1拓扑空间的非空子集称为不可约的，如果不能表示为两个真闭子集的并。规定不是不可约的。命题1.1.2不可约空间的任何非空开子集是不可约且稠密的；不可约子集的闭包仍是不可约的。命题1.1.3在一个Noether拓扑空间上，任何一个非空闭子集可以唯一的写成有限个不可约闭子集的并，，要求。证明（参考文献[1]）。定义1.1.2定义拓扑空间的维数

7、为中不可约闭子集列的长度的上确界，记为。命题1.1.4拓扑空间有一个开覆盖，则。下面，我们就可以进入仿射簇的严格定义了。定义1.1.3仿射簇是指的不可约闭子集。仿射簇的开子集称为拟仿射簇。我们上面说到一个理想的零点集和一个点集的理想，这正好显示出一个几何对象和一个代数对象之间的转化，其实它们之间还有更好的一些结果，用符号和拓扑语言描述出来即为：命题1.1.5(a)若(中)，则；(b)若(中)，则；(c)、，有