【湘教版】八年级数学下册教案：2.7正方形.doc

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1、2．7　正方形1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)3．掌握正方形的判定条件；(重点)4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】利用正方形的性质求线段长或证明如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BA

2、C，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE，由BC＝1，可列出方程，可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF

3、中，CE＝＝x，∵BC＝1，∴x＋x＝1，解得x＝－1，即BE的长为－1.方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型二】利用正方形的性质求角度或证明在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE.(1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD＝∠AD

4、C＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝EF＝DE＝DF，根据等边对等角可得∠EAD＝∠EDA，再求出∠BAE＝∠CDE，然后利用“边角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得EB＝EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD＝∠BAE.(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵点E为DF的中点，∴AE＝EF＝DE

5、＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC(SAS)；(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC，∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°，∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝(180°－30°)＝75°，又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算

6、出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段．探究点二：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE＝DF

7、，∴矩形DECF是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．　　　解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE

8、，可得出BE＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE