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1、资料三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1设P是双曲线x2y21上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，a29F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若
2、PF1
3、3，则
4、PF2
5、（）A．1或5B．6C．7D．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出
6、PF2
7、的值．解：双曲线x2y21渐近线方程为y=3x，由已知渐近线为3x2y0，a29aa2,
8、
9、PF1
10、
11、PF2
12、
13、4，
14、PF2
15、4
16、PF1
17、.
18、PF1
19、3,
20、PF2
21、0，
22、PF2
23、7.故选C．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲
24、线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线x2y21的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共a2b2点，则双曲线的离心率为（）A．5B．5C．542D．5x2y2ybybxy，得解析：双曲线221的一条渐近线为x，由方程组a，消去abayx21x2bx10有唯一解，所以△=(b)240，aa所以b2，eca2b21(b)25，故选D．aaaa归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关.资料系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基
25、本方法和基本技能．例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线x2y2（a＞，b＞）的渐近线与抛物线yx2+1相切，a2b2100=则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6解析：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'
26、x02x．由题意有y02x0．又有x0x0y0x021，联立两式解得:x021,b2,e1(b)25．aa因此选C．例4（2009江西）设F1和F2为双曲线x2y21(a0,b0)的两个焦点，若F1，F2，a2b2P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．5D．322解析：由
27、tanc3有3c24b24(c2a2)，则ec2，故选B．62b3a归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出tanc32b，体现数形结63合思想的应用．（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线C:x2y2221(a0,b0)的离心率为3，右准线方程ab.资料为x3．3（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值．分析：（1）由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在
28、圆上求出m的值．a23解：（1）由题意，得c3，解得a1,c3.c3a∴b2c2a22，∴所求双曲线C的方程为x2y21．2（2）设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，x2y2122mx2200），由2得xm（判别式xym0∴x0x1x2m,y0x0m2m，2∵点Mx0,y0在圆x2y25上，∴m225，∴m1．2m另解：设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，x12y1211由2，两式相减得(x1x2)(x1x2)y2)(y1y2)0.y22(
29、y1212x22.资料由直线的斜率为1，x0x1x2,y0y1y2代入上式，得y02x0.22又M(y0,x0)在圆上，得y02x025，又M(y0,x0)在直线上，可求得m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．例6过M(1,1)的直线交双曲线x2y241于A,B两点，若M为弦AB的中点，求直线2AB的方程．分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k，利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线A
30、B的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k，则方程为y1k(x1)．x2y21消去y得(12k2)x24k(1k)x2k2由424k60①y1k(x1)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由于M为弦AB的中点，所以x1x22k(1k)1，所以k1．212k22显然，当k1时方程①的判别式大于零.21所以直线AB的方程为y1(x1)，即x2y10．2解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12y12②412x22y22③412①－②得(x1x2)(x1x2)2
31、(y1y2)(y1y2)0.又因为x1x22,y1y22，所以x1x22(y1y2)．若x1x2,则y1y2，由x1x22,y1y22得x1x21，y1y21．.资料则点A、B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以x1x2．所以ky1y21．x1x22所以直线AB的方程为1(x1)，即x2y10．y12经检验
