双曲线题型归纳附含答案解析

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1、范文范例参考三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点．若，则（）A．或B．6C．7D．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出的值，利用双曲线的定义求出的值．解：双曲线渐近线方程为y=，由已知渐近线为，，.，.故选C．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．5C．D．解析：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，

2、得有唯一解，所以△=，所以，，故选D．归纳小结：word版整理范文范例参考本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.解析：设切点，则切线的斜率为．由题意有．又有，联立两式解得:．因此选C．例4（2009江西）设和为双曲线()的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B

3、．C．D．3解析：由有，则，故选B．归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出，体现数形结合思想的应用．（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线的离心率为word版整理范文范例参考，右准线方程为．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值．分析：（1）由已知条件列出的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值．解：（1）由题意，得，解得.∴，∴所求双曲线的方程为．（2）设A、B两点的坐标分别为，线段

4、AB的中点为，由得（判别式），∴，∵点在圆上，∴，∴．另解：设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由，两式相减得.word版整理范文范例参考由直线的斜率为1，代入上式，得.又在圆上，得，又在直线上，可求得m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．例6过的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程．分析：求过定点的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是，利用M为弦的中点，即可求得的值，由此写出直线的方程．也可设出弦的

5、两端点坐标用“点差法”求解．解法一：显然直线不垂直于轴，设其斜率是，则方程为．由消去得设，由于M为弦的中点，所以，所以．显然，当时方程①的判别式大于零.所以直线的方程为，即．解法二：设，则①－②得.又因为，所以．若则，由得，．word版整理范文范例参考则点都不在双曲线上，与题设矛盾，所以．所以．所以直线的方程为，即．经检验直线符合题意，故所求直线为．解法三：设（），由于关于点M（1，1）对称，所以的坐标为（），则消去平方项，得．④即点的坐标满足方程④，同理点的坐标也满足方程④．故直线的方程为．归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是

6、“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．（四）轨迹问题例7已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于．求线段的中点的轨迹的方程．分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点是线段的中点，可利用相关点法．解：由已知得，则直线的方程为：．令得，即．设，则，word版整理范文范例参考即代入得：，即的轨迹的方程为．归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法．（五）突出几何性质的考查例8（2

7、006江西）是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点与恰好是两圆的圆心，欲使的值最大，当且仅当最大且最小，由平面几何性质知，点在线段的延长线上，点是线段与圆的交点时所求的值最大.此时．因此选D．例9（2009重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点word版整理范文范例参考在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线

8、的定义将转化为其它线段，再利用不等式的性质求解．解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得．解得.从而，该双曲线的方程为.（2）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，则.所以．因为是圆上的点，其圆心为，半径为1，word版整理