浏阳市一中张德文《基本不等式》.ppt

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1、§3.4基本不等式:(1)浏阳市一中张德文教学目标：1，应用数形结合的思想理解基本不等式。2，从不同角度探索基本不等式的证明过程。3，应用基本不等式求最大值和最小值。教学重点：基本不等式的理解、证明与应用。教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。国际数学大会国际数学大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会1897年在瑞士功黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议。2002年8月20日在北京召开第24届国际数学大全会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大

2、会主席。这是第一次在发展中国家举办的这一大会。有同学知道这一届国际数学大会的会标吗？ICM2002会标赵爽：弦图这是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车。ADBCEFGHab将“风车”抽象成左图。在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。令直角三角形两条直角边的长为a、b。探究你能根据这个图找出一些相等关系或不等关系吗自主学习：p97~98,掌握：1，两个重要不等式是什么？2，怎样推导证明的？ADBCEFGHba基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立

3、。ABCDE(FGH)ab证明:综合(1),(2),得注意:证明:均值不等式(1)换元法探究：证明基本不等式的方法当且仅当a=b时，等号成立。综合法（执因索果）分析法（执果索因）课后探究：两种证明方法的优劣，如何来使用？在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式证法四：易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为显然，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立

4、.几何意义是“半径不小于半弦”ABDD’C法4：几何法2.这两个不等式都是带有等号的不等式．对于“当且仅当a=b时，等号成立．”这句话应从两方面来理解：(1)当a=b时，等号成立．其含义为：如果a=b，那么(2)仅当a=b时，等号成立．其含义为：如果，那么a=b．综合起来，“当且仅当a=b时，等号成立．”其含义是：a=b等价于两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数注意:均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.1）不同点：两个不等式的适用范围不同2）相

5、同点：当且仅当a=b时，等号成立。结论推广公式如果a1，a2，…，an>0，且n>1，那么(a1+a2+···+an)/n叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数。a1a2···ann结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1，a2，…，an>0，且n>1，那么(a1+a2+···+an)/n≥公式的不同形式:a+b2（a,bR)证明:例：2021/9/3例2，求证：lg9·lg11<1分析：由构成特点：乘积、小于，联想到基本不等式，并用到放缩法。∴lg9·lg11<

6、1例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？二，应用基本不等式求最值（应用问题）结论2：两个正数和为定值，则积有最大值结论1：两个正数积为定值，则和有最小值极值定理:解决最大（小）值问题小结：利用求最值时要注意下面三条：1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑

7、不等式是否能取“＝”，否则会出现错误变式1：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园（一面靠墙），问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？变式1：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园（一面靠墙），问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？小结①②③基本不等式的简单应用解决实际问题注意：审题——建模——求解——评价利用基本不等式求最值的条件为“一正，二定，三相等