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时间:2020-05-04
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1、§3.4基本不等式:(1)浏阳市一中张德文教学目标:1,应用数形结合的思想理解基本不等式。2,从不同角度探索基本不等式的证明过程。3,应用基本不等式求最大值和最小值。教学重点:基本不等式的理解、证明与应用。教学难点:用基本不等式求最大值和最小值。国际数学大会国际数学大会是由国际数学联盟(IMU)主办,首届大会1897年在瑞士功黎士举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议。2002年8月20日在北京召开第24届国际数学大全会,由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大
2、会主席。这是第一次在发展中国家举办的这一大会。有同学知道这一届国际数学大会的会标吗?ICM2002会标赵爽:弦图这是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车。ADBCEFGHab将“风车”抽象成左图。在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。令直角三角形两条直角边的长为a、b。探究你能根据这个图找出一些相等关系或不等关系吗自主学习:p97~98,掌握:1,两个重要不等式是什么?2,怎样推导证明的?ADBCEFGHba基本不等式1:一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当a=b时,等号成立
3、。ABCDE(FGH)ab证明:综合(1),(2),得注意:证明:均值不等式(1)换元法探究:证明基本不等式的方法当且仅当a=b时,等号成立。综合法(执因索果)分析法(执果索因)课后探究:两种证明方法的优劣,如何来使用?在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式证法四:易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB即CD=.这个圆的半径为显然,它大于或等于CD,即其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立
4、.几何意义是“半径不小于半弦”ABDD’C法4:几何法2.这两个不等式都是带有等号的不等式.对于“当且仅当a=b时,等号成立.”这句话应从两方面来理解:(1)当a=b时,等号成立.其含义为:如果a=b,那么(2)仅当a=b时,等号成立.其含义为:如果,那么a=b.综合起来,“当且仅当a=b时,等号成立.”其含义是:a=b等价于两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数注意:均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦.均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.1)不同点:两个不等式的适用范围不同2)相
5、同点:当且仅当a=b时,等号成立。结论推广公式如果a1,a2,…,an>0,且n>1,那么(a1+a2+···+an)/n叫做这n个正数的算术平均数,叫做这n个正数的几何平均数。a1a2···ann结论:n个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。如果a1,a2,…,an>0,且n>1,那么(a1+a2+···+an)/n≥公式的不同形式:a+b2(a,bR)证明:例:2021/9/3例2,求证:lg9·lg11<1分析:由构成特点:乘积、小于,联想到基本不等式,并用到放缩法。∴lg9·lg11<
6、1例3、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短篱笆是多少?(2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?二,应用基本不等式求最值(应用问题)结论2:两个正数和为定值,则积有最大值结论1:两个正数积为定值,则和有最小值极值定理:解决最大(小)值问题小结:利用求最值时要注意下面三条:1)一正:各项均为正数(2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。两个正数和为定值,积有最大值。(3)三相等:求最值时一定要考虑
7、不等式是否能取“=”,否则会出现错误变式1:一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园(一面靠墙),问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?变式1:一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园(一面靠墙),问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?小结①②③基本不等式的简单应用解决实际问题注意:审题——建模——求解——评价利用基本不等式求最值的条件为“一正,二定,三相等
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