勾股定理的讲解.docx

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1、勾股定理的讲解【本讲教育信息】一. 教学内容：勾股定理及勾股定理的运用 二. 学习目标：1. 了解勾股定理的发现过程；2. 理解勾股定理的含义；3. 会用面积法来证明勾股定理；4. 能够运用勾股定理解决相关问题。 三. 重点和难点：1. 重点：勾股定理的内容2. 难点：勾股定理的证明和运用； 四. 知识点回顾1. 定理内容：文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。几何形式：如果直角三角形的直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么　　　　　　　　　　　a2＋b2＝c22. 相关知识链接：直角三角形1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股

2、，斜边叫作弦；2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；3）国外称之为毕达哥拉斯定理；4）也有人称勾股定理为千古第一定理。3. 勾股定理的作用：1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。  4. 勾股定理的各种表达式    在中，，A、B、C的对边分别为a、b、c，则，，，，，。 五. 定理证明及典型例题：例1. 已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2＋b2＝c2。证明方

3、法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。如图，正方形ABCD的面积 ＝ 4个直角三角形的面积 ＋ 正方形PQRS的面积∴ (a ＋ b)2 ＝ 1/2ab×4 ＋ c2a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2故 a2 ＋ b2 ＝c2证明方法二：　　图1中，甲的面积 ＝ (大正方形面积) － (4个直角三角形面积)。图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－(4个直角三角形面积)。因为图1和图2的面积相等，所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积即：c2 ＝ a2 ＋ b2 证明方法三：四个直角三角形的面积和 ＋小正方形的面积 ＝大正方

4、形的面积，2ab ＋ (a －b) 2 ＝ c2，2ab ＋ a2 － 2ab ＋ b2 ＝ c2故 a2 ＋ b2＝c2 证明方法四：梯形面积 ＝ 三个直角三角形的面积和1/2×(a ＋ b)×(a ＋ b) ＝ 2×1/2×a×b ＋ 1/2×c×c(a ＋ b)2 ＝ 2ab ＋ c2a 2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ 2ab ＋ c2故 a2 ＋ b2＝c2点拨：以上四种方法均是使用了面积的方法，勾股定理的证明方法很多，有四百多种，在后面学习了相似三角形之后，我们还可以用相似三角形的方法来证明。 例2. 在Rt△ABC，∠C＝90°⑴已知a＝b＝5，求c。⑵已知

5、a＝1，c＝2， 求b。⑶已知c＝17，b＝8， 求a。⑷已知a：b＝1：2，c＝5， 求a。⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。分析：⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。解：由a2 ＋ b2＝c2得，（1）c2＝ 52 ＋ 52＝50，   即：c＝；    （2）12 ＋ b2＝22，b2＝3，即：b＝；（3）a2 ＋ 82＝172 ，a2＝225，即：a＝15；（4）由a：b＝1：2得，b＝2a，则：a2 ＋ (2a)2＝52即：a＝；（5）由∠A＝30°得，c＝2a

6、，则：a2 ＋152＝(2a)2 ，解得：a＝，c＝2。注：本题中的、在学习二次根式之后还可以进一步化简，此处不作要求。 例3. 已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的边AB上的高CD。⑵求S△ABC。分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。解：（1）∵△ABC 是等边三角形CD⊥AB∴CD平分AB∵△ABC的边长是6cm∴AD＝BD＝AB＝3cm在直角三角形ACD中，AD2＋CD2＝AC232＋CD2＝62CD＝（2）S△ABC＝AB·CD＝×6×＝3 （cm2） 例4. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩

7、头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB＝5000米，AC＝4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得即 BC＝3千米飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：（千米／时）答：飞机每小时飞行 540千米。   例5. 如图在中，