勾股定理（基础）知识讲解

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1、勾股定理（基础）学习目标1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.2.学握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题.3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题.要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为J那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据

2、题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的-些变式：才=八扌，F=扌-才,要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）屮=c^=(A-of+4x,所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.(3)要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边;2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长

3、为&的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在△ABC中，ZC=90°,ZA>ZB、ZC的对边分别为匕、b、c.(1)若宀=5,“=12,求J(2)若c=26,&=24,求久【思路点拨】利用勾股定理/+心7=/來求未知边长.【答案与解析】解：(1)因为AABC中，ZC=90°,=<^,。=5,占=12,所以

4、知直角三角形的两边求第三边长关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式.典型例题类型二、勾股定理的证明2、如图所示，在RtAABC中，ZC=90°,AM是中线，MN丄AB,垂足为N,试说明a-血.AC®■【答案与解析】解：因为MN1AB,所以血+3二应，B卄所以血一血=应-&"因为AM是中线,所以MC=MB.又因为ZC=90°,所以在RtAAMC中，,所以血・丄£巴【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化.若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角

5、形，再用勾股定理证明.类型三、利用勾股定理作长度为Jn的线段3、作长为血、不、话的线段.【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于农，直角边为盪和1的直角三角形斜边反就是石，类似地可作&【答案与解析】作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角AACB,使AB为斜边;（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的斜边为少;（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形皿的，这样斜边心、吗、蚂、吗【总结升华】(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；(2)取单位长度时可自定，一般习

6、惯用国际标准的单位如11»等我们作图时只要取定一个长为单位即可.类型四、利用勾股定理解决实际问题1.(2016春•淄博期屮)有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的対角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高.【答案与解析】解：设门高为x尺，则竹竿长为(x+1)尺，根据勾股定理可得：x2+42=(x+1)S即x2+16=x2+2x+1,解得:

7、x二7.5,竹竿高=7.5+1=8.5(尺)答：门高7.5尺，竹竿高&5尺.【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决.5、如图，长方形纸片ABCD屮，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D；【解析】解：设AB=心则AF=K,・・•ZABE折叠后的图形为AAFE,・•・AABE^AAFE.BE=EF,EC=BC—BE=8—3=5,在RtAEFC中，由勾

8、股定理解得FC=4,在RtAABC«

9、>,八口=(*44),解得“6.【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股沱理”两大问题，最后通过勾股定理求解DC