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1、Borntowi2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设常数，则(2)已知f(x)的一个原函数为，则.(3)设矩阵,,则.(4)设向量组,线性无关,则必须满足关系式.(5)设随机变量的联合概率密度分布为YX-101010.070.080.180.320.150.20则的相关系数.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则()(A)当时，存在
2、，使.(B)对任何，有.(C)当时，存在，使.(D)存在，使.(2)设函数连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是()(A)(B)(C)(D)Borntowi(3)设为阶矩阵,分别为对应的伴随矩阵,分块矩阵，则的伴随矩阵()(A),(B),(C),(D)(4)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则()(A)必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的分布函数.(C)必为某一随机变量的分布函数.(D)必为某一随机变量的概率密度.(5)设随机变量相互独立,则根据列维—林德柏格中心极限定理,当n充分
3、大时,近似服从正态分布,只要()(A)有相同的数学期望.(B)有相同的方差.(C)服从同一指数分布.(D)服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限四、(本题满分7分)设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求.五、(本题满分6分)设求.六、(本题满分7分)Borntowi设闭区域为上的连续函数,且求.七、(本题满分7分)设某商品需求量是价格的单调减少函数:,其需求弹性(1)设为总收益函数,证明(2)求时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义.八、(本题满分6分)设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使.九、(本题满分8分)设四元齐次方程
4、组为且已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为.(1)求方程组的一个基础解系;(2)当为何值时,方程组与有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.十、(本题满分8分)设实对称矩阵,求可逆矩阵，使为对角形矩阵,并计算行列式的值.十一、(本题满分8分)设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1,证明：是事件A与B独立的充分必要条件.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间Borntowi为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的
5、分布函数.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】里面为型，通过凑成重要极限形式来求极限，．(2)【答案】【详解】用分部积分法由题设知，Borntowi所以所以．(3)【答案】【详解】，故，，所以因为，故可逆，(经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为)故．(4)【答案】【详解】方法1：由题设条件三个三维向量线性无关，则以为列向量的三阶矩阵的秩为3(阶矩阵的秩等于的充要条件是)故．方法2：线性无关则以为列向量的三阶矩阵的秩为3齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组只有零解
6、．Borntowi当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有故(5)【答案】．【详解】、和都是分布，而分布的期望值恰为取时的概率．由离散型随机变量和的联合概率分布表可得的可能取值为0和1，且的可能取值也为0和1，且和的边缘分布为；；；；；故有而边缘分布律：，，，所以，的联合分布及其边缘分布为01Borntowi00．180．220．4010．320．280．600．500．501由上表同理可求得的分布律为010．720．28所以由分布的期望值恰为取1时的概率得到：二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设在开区间内可导，所以在内连续，因此，对于内的任意
7、一点，必有即有．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：，有，但在内无零点．(C)与(D)的反例，，但(当)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令，则，令，则，所以Borntowi所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如．故应选(D)．(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出因为准对角矩阵可逆的充要条件是均可逆，且有，故均可逆.又，故故应选(D)．方法2：对四个选项逐个验算，选使(为矩阵，故这里的单位矩阵为阶方阵)成立的即可．对(D)有(矩阵的乘法)(
8、，)(提取公因子)(因为，故)(4)【
