2002考研数二真题与解析

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1、2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设函数在处连续，则.(2)位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是_______.(3)微分方程满足初始条件的特解是_________.(4)_____.(5)矩阵的非零特征值是_________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则=()(A)－1(B)0.1(C

2、)1(D)0.5(2)设函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是()(A)(B)(C)(D)(3)设是二阶常系数微分方程满足初始条的特解，则当，函数的极限()(A)不存在(B)等于1(C)等于2(D)等于3(4)设函数在内有界且可导，则()(A)当时，必有.(B)当存在时，必有.(C)当时，必有.(D)当存在时，必有.(5)设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有()(A),线性无关；(B),线性相关；(C),线性无关；(D),线性相关三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角

3、坐标方程.四、(本题满分7分)设求函数的表达式.五、(本题满分7分)已知函数在内可导，,且满足,求.六、(本题满分8分)求微分方程的一个解,使得由曲线，与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小.D1m1mCAB1mlh七、(本题满分7分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少(米)？八、(本题满分8分)设，证明数列的极限存在，并求此极限.九、(本题满分8分)设，证明不

4、等式十、(本题满分8分)设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且证明:存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小.十一、(本题满分6分)已知为3阶矩阵，且满足,其中是3阶单位矩阵.(1)证明：矩阵可逆；(2)若,求矩阵十二、(本题满6分)已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】-2【详解】如果分段函数连续，则在0点处的左右极限相等，从而确定的值．当时，；，所以有如果在处连续，必有即(2)【答案】1【详解】面积其中．(3)【答案】【详解】方法1：这

5、是属于缺的类型．命．原方程化为，得或，即，不满足初始条件，弃之；所以所以，，分离变量得，解之得即由初始条件，可将先定出来：．于是得解之得，．以代入，得，所以应取“+”号且．于是特解是．方法2：将改写为，从而得．以初始条件代入，有，所以得．即，改写为．解得．再以初值代入，所以应取且．于是特解．(4)【答案】【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．因为其中，所以根据定积分的定义，有(5)【答案】4【详解】记，则(对应元素相减)两边取行列式，(其中指数中的1和1分别是所在的行数和列数)令，解得，故是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是(二重))二

6、、选择题(1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，，当时称为的线性主部．而，以代入得，由题设它等于0．1，于是，应选(D)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令，则，令，则，所以所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如．故应选(D)．(3)【答案】(C)【详解】由，且，可知方法1：因为当时，，所以，故选(C)．方法2：由于．将函数按麦克劳林公式展开，代入，有．(4)【详解】方法1：排斥法．令，则在有界，，，但不存在，故(A)不成立；，但，(C)和(D)不成立，故选(B)．方法2：证明(B)正确．设存在，记，证明．用

7、反证法，若，则对于，存在，使当时，，即由此可知，有界且大于．在区间上应用拉格朗日中值定理，有从而，与题设有界矛盾．类似可证当时亦有矛盾．故．(5)【答案】A【详解】方法1：对任意常数，向量组，线性无关．用反证法，若，线性相关，因已知线性无关，故可由线性表出．即存在常数，使得又已知可由线性表出，即存在常数，使得代入上式，得与不能由线性表出矛盾．故向量组，线性无关，选(A)方法2：用排除法B选项：取，向量组，即，线性相关不成立，否则因为，线性相关，又线性无关，故可由线性表出．即存在常数，使得与已知矛盾，排除(B)．C选项：取，向量组，，即，线性无关不成立

8、，因为可由线性表出，，线性相关，排除(C)．D选项：时，，线性相关不成立．若，线性相关，因已知线性无关，故可