解析函数的孤立奇点及留数

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1、第十章函数项级数第一节函数项级数简介第二节幂级数第三节Laurent级数第四节解析函数的孤立奇点及留数第五节Fourier级数4.1孤立奇点及其分类留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。定义4.1若在不解析，但在的某一去心邻域内解析，则称是的孤立奇点。（1）为的可去奇点：若中无负幂项根据Laurent级数的形式分类：设为的孤立奇点,在的去心邻域内，的Laurent展式为:孤立奇点可按以下两种方式分类：（3）为的本性奇点：若中负幂项有无穷多项（2）为的(m级)

2、极点：若中负幂项只有有限项(m项)根据的极限分类：定义维尔斯特拉斯，1876性质1性质2例1求下列函数的奇点，并指出其类型：解解解解以上讨论了当为有限奇点时，孤立奇点的分类。现讨论若在无穷远点的去心邻域内解析（这时Laurent展式为:Laurent展式为:例如关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。二.留数设为的孤立奇点,在的去心邻域内，的Laurent展式为:无穷远点处的留数留数计算法：证明2.从

3、证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m来计算。这是因为表达式这不影响证明结果。的系数中可能有一个或几个为零，例2求下列函数的奇点并计算留数：解法1法2法3解解法1所以，0为的三级极点，且法2因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，所以0是的三级极点，取m=4,由公式2得三.留数定理定理4.1设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，L是D内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么由复合闭路定理,得留数定理利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立

4、奇点处的留数。定理4.2如果函数在扩充的复平面内除有限个点）的留数的总和必等于零,即孤立奇点外解析，那么在所有各奇点（包括例3计算下列积分：由留数定理1，得由留数定理1，2，得4.3利用留数计算某些实积分例4例5例6例7