结构化学作业解答(第一章)

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1、[1.1]将锂在火焰上燃烧,放出红光,波长=670.8nm,这是Li原子由电子组态跃迁时产生的,试计算该红光的频率,波长以及以kJ/mol为单位的能量。[解]第一章量子力学基础知识[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1,用它作光电池的阴极,当用波长为300nm的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大动能是多少?[解][1.4]计算下述粒子的德布罗意波的波长: (1)质量为10-10kg,运动速度为0.01ms-1的尘埃; (2)动能为0.1eV的中子; (3)动能为300eV的自由电子。[解]根据德布罗意关系式:(1)(2)(3

2、)[1.7]子弹(质量为0.01kg,速度为1000ms-1)、尘埃(质量10-9kg,速度10ms-1)、作布朗运动的花粉(质量10-13kg,速度1ms-1)、原子中电子(速度1000ms-1)等,速度的不确定度均为速度的10%,判断在确定这些质点位置时,不确定度关系是否有实际意义。[解]按不确定度关系,诸粒子坐标的不确定度为:电视机显像管中运动的电子,假定加速电压为1000V,电子运动速度的不确定度△为速度的10%,判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响?[解]:在给定加速电压下,由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为:这坐标不确定度对于电

3、视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说,完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。[1.8]根据不确定度关系(1)将下列微粒按最小速度的不确定度增加的顺序排列起来:(a)分子中的电子,(b)中的H原子,(c)C原子核中的质子,(d)纳米管中的分子,(e)5m宽箱中的分子。(2)计算(a)和(e)中粒子的。[解](1)不同粒子的质量m的数值约为(a)电子,(b)质子,(c)H原子,(d)分子,(e)。的数值约为:分子,C原子核,纳米管,5米箱5m。从出发,考虑。可按下式估算:由小

4、到大的次序为:(2)(a)分子中的电子为[1.10](2)(e)5米箱中的分子是算符的本征函数,求本征值。[解]:应用量子力学基本假设Ⅱ(算符)Ⅲ(本征函数,本征值和本征方程),得:因此,本征值为。[1.11]下列函数哪几个是算符的本征函数?若是,求出本征值。[解]:[1.12]是否为本征函数?若是,求出其本征值。[解]:[1.13]已知一维势箱中粒子的归一化波函数为:式中是势箱的长度,x是粒子的坐标(0﹤x﹤)。计算:(a)粒子的能量;(b)粒子坐标的平均值;(c)粒子动量的平均值。[1.15][解]:(a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数,

5、可采用下列两种方法计算粒子的能量:①将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量:即将动量平方的算符作用于波函数,所得常数即为:即将此式代入粒子的能量表达式,得:若不知道粒子的波函数,则可采用下列两种方法求算能量:①解箱中粒子的Schrodinger方程,在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式(参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版,p27,北京大学出版社)。若只求粒子最低能量(零点能)的近似值,则亦可根据变分法的思路,选为变分函数,用式:进行计算,所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。②根据受一定势能场束缚

6、的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件,箱长应该等于半波长的整数倍,即:将此式代入deBroglie关系式,得:将此式代入粒子能量的一般表达式,得:可根据一维箱中粒子的能级表达式,分析En及△En随n,m及等的变化关系,从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。(b)由于无本征值,只能求粒子坐标的平均值:粒子的平均位置在势箱的中央,说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5,即图形对势箱中心点是对称的。(c)由于无本征值.可按下式计算的平均值。[1.17]链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460nm处出现第一个强吸

7、收峰,试按一维势箱模型估算其长度。解:4对电子,形成离域键。[18]一个粒子处在a=b=c的三维势箱中,试求能级最低的前五个能量值[以h2/(8ma2)为单位]。计算每个能级的简并度。解:质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动,其能级公式为:能级最低的前五个能量(以h2/(8ma2)为单位)依次为:E111=3E112=E121=E211=6E122=E212=E221=9E113=E131=E311=11E222=12[19]若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示其运动特征: 估计这一势箱的长度l=1.3nm,根据能级公式

8、En=n2h2/8ml2估算π电子跃迁时所吸收的波长,并与实验值5100nm比较。解:该离子共有10个π电子,跃迁所需最低能量为第五和第

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1、[1.1]将锂在火焰上燃烧,放出红光,波长=670.8nm,这是Li原子由电子组态跃迁时产生的,试计算该红光的频率,波长以及以kJ/mol为单位的能量。[解]第一章量子力学基础知识[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1,用它作光电池的阴极,当用波长为300nm的紫外光照射该电池时,发射的光电子的最大动能是多少?[解][1.4]计算下述粒子的德布罗意波的波长: (1)质量为10-10kg,运动速度为0.01ms-1的尘埃; (2)动能为0.1eV的中子; (3)动能为300eV的自由电子。[解]根据德布罗意关系式:(1)(2)(3

2、)[1.7]子弹(质量为0.01kg,速度为1000ms-1)、尘埃(质量10-9kg,速度10ms-1)、作布朗运动的花粉(质量10-13kg,速度1ms-1)、原子中电子(速度1000ms-1)等,速度的不确定度均为速度的10%,判断在确定这些质点位置时,不确定度关系是否有实际意义。[解]按不确定度关系,诸粒子坐标的不确定度为:电视机显像管中运动的电子,假定加速电压为1000V,电子运动速度的不确定度△为速度的10%,判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响?[解]:在给定加速电压下,由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为:这坐标不确定度对于电

3、视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说,完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此,电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。[1.8]根据不确定度关系(1)将下列微粒按最小速度的不确定度增加的顺序排列起来:(a)分子中的电子,(b)中的H原子,(c)C原子核中的质子,(d)纳米管中的分子,(e)5m宽箱中的分子。(2)计算(a)和(e)中粒子的。[解](1)不同粒子的质量m的数值约为(a)电子,(b)质子,(c)H原子,(d)分子,(e)。的数值约为:分子,C原子核,纳米管,5米箱5m。从出发,考虑。可按下式估算:由小

4、到大的次序为:(2)(a)分子中的电子为[1.10](2)(e)5米箱中的分子是算符的本征函数,求本征值。[解]:应用量子力学基本假设Ⅱ(算符)Ⅲ(本征函数,本征值和本征方程),得:因此,本征值为。[1.11]下列函数哪几个是算符的本征函数?若是,求出本征值。[解]:[1.12]是否为本征函数?若是,求出其本征值。[解]:[1.13]已知一维势箱中粒子的归一化波函数为:式中是势箱的长度,x是粒子的坐标(0﹤x﹤)。计算:(a)粒子的能量;(b)粒子坐标的平均值;(c)粒子动量的平均值。[1.15][解]:(a)由于已经有了箱中粒子的归一化波函数,

5、可采用下列两种方法计算粒子的能量:①将能量算符直接作用于波函数,所得常数即为粒子的能量:即将动量平方的算符作用于波函数,所得常数即为:即将此式代入粒子的能量表达式,得:若不知道粒子的波函数,则可采用下列两种方法求算能量:①解箱中粒子的Schrodinger方程,在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式(参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版,p27,北京大学出版社)。若只求粒子最低能量(零点能)的近似值,则亦可根据变分法的思路,选为变分函数,用式:进行计算,所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132倍。②根据受一定势能场束缚

6、的微粒所具有的量子效应和箱中粒子的边界条件,箱长应该等于半波长的整数倍,即:将此式代入deBroglie关系式,得:将此式代入粒子能量的一般表达式,得:可根据一维箱中粒子的能级表达式,分析En及△En随n,m及等的变化关系,从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。(b)由于无本征值,只能求粒子坐标的平均值:粒子的平均位置在势箱的中央,说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为0.5,即图形对势箱中心点是对称的。(c)由于无本征值.可按下式计算的平均值。[1.17]链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460nm处出现第一个强吸

7、收峰,试按一维势箱模型估算其长度。解:4对电子,形成离域键。[18]一个粒子处在a=b=c的三维势箱中,试求能级最低的前五个能量值[以h2/(8ma2)为单位]。计算每个能级的简并度。解:质量为m的粒子在边长为a的立方势箱中运动,其能级公式为:能级最低的前五个能量(以h2/(8ma2)为单位)依次为:E111=3E112=E121=E211=6E122=E212=E221=9E113=E131=E311=11E222=12[19]若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示其运动特征: 估计这一势箱的长度l=1.3nm,根据能级公式

8、En=n2h2/8ml2估算π电子跃迁时所吸收的波长,并与实验值5100nm比较。解:该离子共有10个π电子,跃迁所需最低能量为第五和第

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