第四章几何轨迹演示文稿

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1、几何轨迹的基本问题1.定义2.基本轨迹命题3.三种类型的轨迹命题（定和幂圆、定差幂线、圆幂和等幂轴）1.定义预备知识：曲线和方程一般地，在直角坐标系中，如果曲线C（看作适合条件的点的集合或轨迹）上的点与一个一元二次方程的实数解建立了如下的关系：（1）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（2）曲线上的点的坐标都是这个方程的解我们把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线（图形）例1.过点A(2,0)平行于y轴的直线L与方程之间的关系。例2.到两坐标轴相等的点的轨迹与方程的关系。定义1.若①适合某条件p的任意一点，都在图形F上；②图形F上任一点都适合条件p则称图形F是适合条

2、件p的点的轨迹。注：（1）要证合乎条件的点的轨迹L是图形F①点p适合条件②适合条件（2）①中保证了没有一个适合条件P的点被漏掉，他们统统都在图形F上，则称为轨迹的完备性。②中说明图形F上的点都适合条件，即没有不适合条件的点混杂在图形中，则称为轨迹的纯粹性。（3）若只证明完备性，不证纯粹性，可能鱼目混珠。若只证明纯粹性，不证完备性，可能缺斤短两。（4）证明轨迹命题也可证明①②的逆否命题。例1.设一点到矩形的一双相对顶点的距离之和等于另一双相对顶点的距离之河，则其轨迹为矩形的两条对称轴。已知：矩形ABCD，L和L′是它的两条对称轴，P满足PA+PC=PB+PD求证：P点的轨

3、迹是直线L和L′DCABLL′●P2.基本轨迹命题1.距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线短的中垂线。2.距两相交直线等远的点的轨迹，是两条互垂的直线，它们平分两定直线所成的角。3.距两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行于它们的一条直线，即两平行线的公垂线短的中垂线。4.到定直线的距离为定长的点的轨迹，是平行于定直线的两条直线，各在定直线的一侧且距离定直线等于定长。5.到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，是以已知点为圆心，定长为半径的圆。6.和已知线段的视角等于定角的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于的两条弓形弧（端点除外）3.三种类型的轨迹问题（1）第一种轨迹

4、命题：结论部分明确说明图形的形状、大小和位置（2）第二种轨迹命题：结论部分只说明图形的形状，对图形的大小和位置叙述不全。（3）第三种轨迹命题：结论部分只说明适合某条件的轨迹，图形的形状、大小和位置未提及。例1.设一点与一定圆的距离等于圆的半径，则该点的轨迹为该圆中心和一个半径加倍的同心圆的并。●o●pAB例2.和两定点距离之比等于定长（不等于1）的点的轨迹是一个圆。（阿氏圆）例3.到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（若存在）为一圆（可能退缩为一点）——定和幂圆例4.到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线。——定差幂线例5.圆幂和等幂轴