（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形8第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例教学案.docx

《（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形8第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例教学案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例1．实际问题中的常用述语(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．(3)方向角相对于某一正方向的角(如图③)．①北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°.③其他方向角类似．2．解三角形应用题的一般步骤[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋

2、β＝180°.(　　)(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√[教材衍化]1．(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，所以AB＝＝＝50(m)

3、．答案：502．(必修5P13例3改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以＝，所以PB＝a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝a×sin60°＋asin15°＝a.答案：a[易错纠偏](1)方向角与方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能将空间问题转化为解三角

4、形问题．1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)A．北偏西5°B．北偏西10°C．北偏西15°D．北偏西20°解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________．答案：130°3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上

5、，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.解析：由题意画示意图，如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．答案：10　　　　　　测量距离如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登

6、山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解】　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋2×CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝，BC＝BD＋CD＝，两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而<＝＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．(变条件、变问法)若本例条件“BD＝1km，AC＝3km”变为“BD＝200m，CD＝300m”，其

7、他条件不变，则这条索道AC长为________．解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得＝，所以＝.所以AD＝＝200(m)．在△ADC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos150°＝390000，所以AC＝100.故这条索道AC长为100m.答案：100m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不