第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例(教师版)

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1、授课学案学牛•姓名授课教师班主任上课吋间—月—日—时一—时主任审批授课标题正弦定理和余弦定理的应用举例学习目标1、掌握正、余弦定理，并能解决一•些简单的三角度量问题.2、能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.重点难点1、掌握正、余弦定理解任意三角形的方法；2、会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，解决生产实践小的相关问题.授课过程一、自我检测：（5题）1.（2010.北京高考改）某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1,顶角为。的四个等腰三角形，及其底边构成的止方形所组成，该八边形的面积为•解析三角形的底边长为兀=>/l+l-2xlxlxcos67=a/2-2c

2、osq,・•.S=4S三角形+S”方形=4x—xlxlxsin67+x2=2sin(7+2-2cosa=2sina-2cosa+2.答案2sin6r-2cos<7+22.若海上有B,C三个小岛，测得B两岛相距12海里，ZBAC二60。，ZABCT5。，则3,C间的距离是海里.解析由正弦定理’知需爲（180。©-75。）解得心6〃（海里）.答案6a/63.（2013-H照调研改）如图，一船口西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔卩的南偏西75。距塔68海里的M处，下午3时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为海里/时.解析由正弦定理，得MN=sin12（户=34亦（海里），船的航行速

3、度为如海里/时）.sin45°5答案1.如图所示，在ABC中，已知B=45。，D是BC边上一点，AD=Q,AC=4,DC=6,求C解析在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,jn24-nr2—ac由余弦定理得WQC.22DC100+36-1961—2x10x62aZADC=120°.ZADB=60°.在MBQ中，AD=10,B=45°,ZADB=60°,由正弦定理得蛊r鴛10X迥”AD-sinZADB10sin60°1UX2=[7:.AB===——=5>J6.sin45°72~T答案5^6BC解析在ABAD中，由余弦定理，得BA2=BD2+AD2-2BDADcosABDA.玻BD=x

4、,则196=x2+102-2-10xcos60°,所以x2-10x-96=0,所以xj=16,x2=—6（舍去）,所以BD=16.在厶BDC屮，由正弦定理，得BC_BDsinZCDB一sinZBCD所以心而莎曲。=皿所以BD“，BC=8VI.答案16,872二、知识点回顾1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算而积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题屮的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).⑵方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30。

5、，北偏西45。，西偏北60。等；⑶方位角：指从正北方向鯉坦转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为a(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学•微博】解三角形应用题的一•般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际巧景，明确已知与耒知，理清量与量Z间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的耍求等.解三角形应用题常冇以下两种情形(1)实际问题经抽象概扌舌后，已知量与未知量全部集中在一个三角形屮，可

6、用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解具他三角形，有时需设出未知量，从儿个三角形小列出方程(纽)，解方程(组)得出所要求的解.三、经典例题题型一：测量距离问题1.例题：为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平而内(如图)，E机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一•个方案，包括：①指出需要测量的数据(川字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.解：方案一：①需要测量的数据冇:②笫步:B的距离d

7、(如图所示).N的俯角«2，02；A,计算AM.由止弦定理得AM=dsin々2sin（ai+ai）第二步：计算AN.由正弦定理得AN=sin(02-0i)第三步：计算MN.由余弦定理得MN=y]AM•AM+AN•AN-2AM•ANcos(6Zi-/?i)方案二：①盂要测量的数据冇：A点到M,N点的俯角Q

8、,A；B点到M,N点的俯角俐，02；A,B的距离d(如图所示).②笫步:计算BM.由正弦定理得