离散数学习题课-集合

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1、习题课主要内容集合的两种表示法集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合的计数(包含排斥原理)集合的,,,,等运算以及广义,运算集合运算的算律及其应用(证明)1习题课熟练掌握集合的两种表示法能够判别元素是否属于给定的集合能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含关系熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法2习题课判断下列命题是否为真(1)(2)(3){}(4){}(5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}(6){a,b}{a,b,c,{

2、a,b}}(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}(8){a,b}{a,b,{{a,b}}}解(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.3习题课(1)判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法：把a作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的a可能是集合表达式.(2)判断AB的四种方法若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现.若A,B是谓词法定义的，且A,B中元素性质分别为P和Q,那么“若P则Q”意味AB，“P当且仅当Q”意味Ａ=Ｂ．通过集合运算判断AB，即AB=B,AB=A,AB=三个等式中有一个为真.通过文氏图判断集合

3、的包含（注意这里是判断，而不是证明）4习题课设S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}S3={1,3,5,7,9}S4={3,4,5}S5={3,5}确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？（1）若XS5=（2）若XS4但XS2=（3）若XS1且X⊈S3（4）若XS3=（5）若XS3且X⊈S15习题课解(1)和S5不交的子集不含有3和5，因此X=S2.(2)S4的子集只能是S4和S5.由于与S2不交，不能含有偶数，因此X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有偶数，因此X

4、=S1,S2或S4.(4)XS3=意味着X是S3的子集，因此X=S3或S5.(5)由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.6判断A(BC)=(AB)(AC)是否成立文氏图不等A(BC)(AB)-(AC)(AC)-(AB)(AB)(AC)7习题课判断以下命题的真假，并说明理由.（1）AB=AB=（2）A(BC)=(AB)(AC)（3）AA=A（4）如果AB=B，则A=E.（5）A={x}x，则xA且xA.8习题课先将等式化简或恒等变形.查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.注意以下两个重要的充要条件AB=A

5、AB=AB=ABAB=BAB=A如果与条件相符，则命题为真.如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明.试着举出反例，证明命题为假.9习题课解(1)B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件.(2)这是D.M律，命题为真.(3)不符合算律，A时假.(4)命题不为真.AB=B的充分必要条件是BA，不是A=E.(5)命题为真，因为x既是A的元素，也是A的子集10习题课证明AB=ACAB=ACB=C解题思路分析命题：含有3个命题：AB=AC,AB=AC,B=C①②③证明要求前提：命题①和

6、②结论：命题③证明方法：恒等式代入、反证法利用已知等式通过运算得到新的等式11习题课方法一：恒等代入法B=B(AB)=B(AC)=(BA)(BC)=(AC)(BC)=(AB)C=(AC)C=C方法二：反证法.假设BC，则存在x(xB且xC),或存在x(xC且xB).不妨设为前者.若x属于A，则x属于AB但x不属于AC，与已知矛盾；若x不属于A，则x属于AB但x不属于AC，也与已知矛盾.证明AB=ACAB=ACB=C12习题课证明AB=ACAB=ACB=C方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式①和②可

7、以得到(AB)(AB)=(AC)(AC)即AB=AC从而有A(AB)=A(AC)根据结合律得(AA)B=(AA)C由于AA=,化简上式得B=C.13使用包含排斥原理求不超过120的素数个数.解设S={x

8、xZ∧1x120}A={x

9、xS∧x可被2整除}B={x

10、xS∧x可被3整除}C={x

11、xS∧x可被5整除}D={x

12、xS∧x可被7整除}

13、A

14、=60

15、B

16、=40

17、C

18、=24

19、D

20、=17

21、A∩B

22、=20…

23、C∩D

24、=3