一个有趣的结论.doc

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1、蝴蝶定理ABCDO我们在解决有关面积问题时，经常用到如下一个结论：在四边形ABCD中，若对角线AC、BD交于点O，则：S⊿AOD×S⊿BOC=S⊿AOB×S⊿DOC（注：S⊿AOD为三角形的面积，以下同）证明：设OA=m，OC=n，⊿AOD的高为x,⊿BOC的高为y,则S⊿AOD=mxS⊿AOB=myS⊿BOC=nxS⊿DOC=ny∴S⊿AOD×S⊿BOC=S⊿AOB×S⊿DOC=mnxy这就引导我们思考这样一个问题，四边形中的结论能否在三角形中也存在着这样的结论呢？ABCDEFO如图：在⊿ABC中，点D、E分别是BC和AC上任意一点

2、，连接CO并延长交AB于点F。则有以下结论成立：（1）S⊿BOD×S⊿AOC=S⊿AOB×S⊿DOC（2）S⊿BOF×S⊿AOC=S⊿AOF×S⊿BOC（3）S⊿BOC×S⊿AOE=S⊿AOB×S⊿EOC证明（1）如下：设OA=aOD=b⊿COA的高为h1,⊿AOB的高为h2，∵S⊿AOC=ah1S⊿DOC=bh1S⊿AOB=ah2S⊿BOD=bh2∴S⊿BOD×S⊿AOC=S⊿AOB×S⊿DOC=abh1h2同理可证（2）（3）4可以用以上结论解决三角形中一些有关面积的问题。例1：（第十七届“希望杯”全国邀请赛初一第二试22题）如图

3、所示，⊿ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点。连结AO并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F。求四边形BDOF的面积。ABCDEFO解：∵E为AC的中点，且⊿ABC的面积为1∴S⊿ABE=S⊿CBE=∵点O为BE的中点∴S⊿AOB=S⊿AOE=S⊿ABE=S⊿COB=S⊿COE=S⊿CBE=设⊿BOF和⊿BOD的面积分别是x、y则：S⊿BOF×S⊿AOC=S⊿AOF×S⊿BOCx(+)=(-x)解得x=同理：y=∴四边形BDOF的面积是例2：（第十四届“希望杯”全国邀请赛初一第一试25题）ABCGFDE如图，⊿ABC的

4、面积为25cm2，AE=ED，BD=2DC，则⊿AEF与⊿BDE的面积之和等于cm2，四边形CDEF的面积等于cm24解：连结CE并延长交AB于点G，∵⊿ABC的面积为25cm2，BD=2DC∴S⊿ADC=S⊿ABC=S⊿ABD=S⊿ABC=∵AE=ED∴S⊿AEB=S⊿DEB=S⊿ABD=S⊿AEC=S⊿DEC=S⊿ADC=设⊿AEF的面积为xcm2∵S⊿EFC×S⊿AEB=S⊿AEF×S⊿BEC∴（-x）=x(+)解得x=即⊿AEF的面积为cm2∴S⊿AEF+S⊿DEB=+=10（cm2）∴S四边形CDEF=-=（cm2）以上两到

5、例题只是对笔者给出的结论进行了应用，其他解法这里不再一一给出。4一个有趣的结论银川十六中唐晓红4