上数学竞赛用的.doc

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1、专题数列与递推一、知识要点1、等差数列：(1)定义：（常量）或．(2)通项公式：．(3)前项和公式：．(4)任意两项有．(5)对于任意正整数，若，则．反之不行．(6)若均是等差数列，则也是等差数列．()2、等比数列：(1)定义：（常量）或．(2)通项公式：．(3)前项和公式：．(4)任意两项有．(5)对于任意正整数，若，则．(6)无穷递缩等比数列所有项和公式：．3、数列求和：方法主要有裂项求和、错位相减、倒序相加、分组求和等．二．一些常用递归数列的通项（一）与型———累加法与累积法(1)形如的一阶递归式，其通项求法为．(累加法)(2)形如的递归式，其通项求法为6．(累积法)例1（1）（08四川

2、文16）设数列中，，则通项（2）（04年全国高考I）已知数列满足，则通项=(二)基本模型：———待定系数法或相减法（1）当时，是首项为，公差为的等差数列，于是（2）当时，是首项为，公比为的等差数列，于是（3）当时，法一：（待定系数法）令（展形后与原形对比有），变为，出现等比数列。求其通项公式法二：（相减法）由及，两式相减得，有是首项为，且公比为的等比数列，先求出，再求出．注：该模型是求递推数列通项公式的基本模型，大部分的递推数列最终都可以转化为该模型解决6例2.（1）在数列中，已知，求（2）在数列，已知，求与（三）．可化为基本模型的递推数列———转化与化归法（1），与型前者令转化为等比数列求解

3、；中间的变形为转化为基本模型来求解，最后的取对数变形为转化为基本模型求解。例3．（1）在数列中，已知，求（2）在数列中，已知，求（3）在数列中，已知，求（4）在数列各项均为正数，且，求（2）型6先设转化为等比数列，在转化为基本模型求解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例4.（1）在数列中，已知，求（2）在数列中，已知，求（3）与型1)型：两边取倒数后转化为基本模型2)型：设，转化为

4、，且取适合的使它变形为上一种类型法二：不动点法：当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法．典型例子：，令，即，令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2，则有，其中p6可以用待定系数法求解，为p=，然后再利用等差数列通项公式求解．若x1≠x2，则有，其中q可以用待定系数法求解，为q=，然后再利用等比数列通项公式求解．此时是等比数列，首项是例5.在数列中，已知，求（2）在数列中，已知，求（四）其他模型———归纳推理法有些不规则的递推数列的通项用以上的方法不奏效时，我们不妨运用“归纳——猜想——证明”的归纳推理法，从前几项找出规律，然后猜出其通项（运用数学归纳

5、给出严格的证明），或者根据已知条件整理，变形为规则的递推数列，再求其通项。例6.(1)在数列中，且，则A．B．C．D．(2)(12年江西理)观察下列各式：则A．28B．76C．123D．199（3）已知数列，求(4)已知数列中，，，求6三．综合题例7.等比数列{}的前项和为,已知对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求的值；（2）当时，记,求数列的前项和例8设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．6