2. 2.2 圆的一般方程课件(北师大版必修二)

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1、把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4.此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1.此方程表示一个点(－1,1)．问题3：方

2、程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝－1.由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0D2＋E2－4F=0D2＋E2－4F>01．圆的一般方程与标准方程可以互化形式标准方程一般方程转化对应关系D＝－，E＝－2b，F＝a2＋b2－r22．一个二元二次方程表示圆需要

3、一定的条件，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的条件下才表示圆．[例1]判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径．[思路点拨]解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[一点通]解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数是否相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．答案：A2．

4、下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0.解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，x2的系数为2，y2的系数为1.∵2≠1，∴不能表示圆．(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0，∵方程中含xy项，∴此方程不能表示圆．(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：D＝－2，E＝－4，F＝10.∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10＝20－40＝－2

5、0<0.∴此方程不能表示圆．法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0.配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆．(4)∵2x2＋2y2－4x＝0，∴x2＋y2－2x＝0，∴(x－1)2＋y2＝1.∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[例2]已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路点拨]先设其外接圆的方程是x2＋

6、y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．[一点通]一般地，已知圆上的三个点的坐标或已知圆上的两点的坐标以及其他条件求圆的方程时，一般采用圆的一般方程求解．4．经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6

7、的圆的方程．设x1、x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F由

8、x1－x2

9、＝6，得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.整理得x2＋y2＋2x－3＝0，∴所求曲线方程即为x2＋y2＋2x－3＝0.将其左边配方，得(x＋1)2＋y2＝4，∴此曲线是以点C(－1,0)为圆心，2为半径的圆．如图.[例3]如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽1

10、2m，当水面下降1m后，水面宽多少米？[思路点拨]首先建立适当的平面直角坐标系，根据条件求出圆的方程，再应用方程求解．[精解详析]以圆拱桥顶为坐标原点