导数中的常见错误.doc

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1、导数中的常见错误吴川一中段东寿一、误认为导数为零的点一定是极值点例1．函数在处有极值，求,b的值．错解由题意得，且，即，解得或．分析：是可导函数在处有极值的必要条件而非充分条件．只有加之附近导数的符号相反，才能判定在处取得极值，因此上述解法在解出,的值后，还应检验和分别在附近导数符号的变化情况．经检验只有,符合条件．二、误认为极值只能在导数为零的点处取得例2．求函数的极值．错解：由于，于是令，得当时，；当时，．所以当时，函数有极大值．分析：在确定极值时，只讨论满足的点附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论和处

2、左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在和处函数取到极小值0．三、判断单调性时忽视特殊情况例3．已知函数在上是减函数，求实数的取值范围．错解：因为在上是减函数，所以在上恒成立，即△解得，所以的取值范围为．分析：恒成立的充要条件并不是在上是减函数．事实上，当时，，则：当时，；当时，．而函数在处连续，因此在上是减函数．同理可知当时，在上是减函数，所以的取值范围为．四、误用求导法则2例4．的导数是_______．错解：．分析：应分情况求导．（）当时，；（）当时，．故例5．求的导数．错解：设，，则正解：设，，，则五、求曲线的切线方程时审题不细例6

3、．求曲线过原点的切线方程．错解：，设切线的斜率为，则，所以所求曲线切线方程为．分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线，此点并不一定是切点．正解：，设切线的斜率为．（）当切点是原点时，，所以所求曲线的切线方程为．（）当切点不是原点时，设切点是，则有，①，又②，由①、②得，，故所求曲线的切线方程为．例7．考察在点处的切线．错解：，显然在处的导数不存在，所以曲线在该点处没有切线．分析：处的导数不存在，这说明曲线在点处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为，所以在点处的切线方程为．2