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时间:2020-04-14
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1、吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二数学上学期学科竞赛试题时间:120分钟分值:150分一、选择题(每题5分,共60分)1.命题,则是()A.B.C.D.2.已知,则下列判断中,错误的是()A.p或q为真,非q为假B.p或q为真,非p为真C.p且q为假,非p为假D.p且q为假,p或q为真3.“”是“”的()条件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要4.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于两点,则与和椭圆的另一个焦点构成的的周长为()A.B.C.D.5.已知,为两条不同的直线
2、,,为两个不同的平面,对于下列四个命题:①,,,②,③,,④,其中,真命题的个数有()A.个B.个C.个D.个6.已知,则动点的轨迹是( )A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支-6-7.在正方体中,异面直线与所成角的大小为()A.B.C.D.8.圆:上的点到直线的距离最小值是()A.2B.C.D.9.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为其右焦点,若,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.10.不论m取任何实数,直线恒过一定点,则该定点的坐标是()A.B.C.D.11.中国古代数学经典《九章算术
3、》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知平面,四边形为正方形,,,若鳖臑的体积为1,则阳马的外接球的表面积等于( )A.B.C.D.12.已知椭圆的焦点为,过的直线与交于两点.若,,则椭圆的方程为()-6-A.B.C.D.二、填空题(共计20分)13.求过点(2,3)且在x轴和y轴截距相等的直线的方程.14.双曲线上的一点到它的一个焦点的距离等于,那么点到另一个焦点
4、的距离为_______15.四棱锥中,底面为平行四边形,是上一点,当点满足条件:__________时,平面.16.给出以下命题,①命题“若,则或”为真命题;②命题“若,则”的否命题为真命题;③若平面上不共线的三个点到平面距离相等,则;④若,是两个不重合的平面,直线,命题,命题,则是的必要不充分条件;⑤平面过正方体的三个顶点,且与底面的交线为,则∥。其中,真命题的序号是三、解答题(共70分)17.(共10分)求下列双曲线的实轴和虚轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标渐进线方程。(1)(2)18.(共12分)已知
5、,,若是的充分而不必要条件,求实数的取值范围.-6-19.(共12分)如图,在正方体中,分别是的中点。求证:(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值。20.(共12分)已知双曲线和椭圆有公共的焦点,且离心率为。(1)求双曲线的方程。(2)经过点作直线交双曲线于,两点,且为的中点,求直线的方程。21.(共12分)如图,是正方形,O是正方形的中心,底面,是的中点。求证:(1)∥平面;(2)平面平面;(3)求二面角的大小。22.(共12分)已知在平面直角坐标系中,动点与两定点连线的斜率之积为,记点的轨迹
6、为曲线。(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于两点,曲线上是否存在点使得四边形-6-为平行四边形?若存在,求直线的方程,若不存在,说明理由。高二数学答案1.C2.C3.B4.B5.A6.A7.C8.C9.D10.B11.A12.D13.14.1715.E为中点16.①④⑤17.18.19.(1)取BD的中点O,连接EO、D1O,则OE∥,OE=.又D1G∥DC,D1G=DC,∴OE∥D1G,OE=D1G,∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1
7、D1D.(2)20.(1)(2)21.(1),(2)证明略(3)22.解:(1)设P(x,y),有·=-得·=-得=1(x≠±2)∴C的方程为=1(x≠±2)(2)假设存在符合条件的点E()由题意知直线l的斜率不为零设直线l的方程为-6-x=my-点M坐标为()、点N坐标为()由得:(+2)-2my-3=0,△>0∴+则+=-由四边形OMEN为平行四边形,得∴E(-)点E坐标代入C方程得:=0,解得∴此时直线l的方程为,但,所以不存在.-6-
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