2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程教学案理北师大版.doc

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1、第8讲　函数与方程一、知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．3．二次函数y＝ax2＋b

2、x＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、教材衍化141．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－741

3、4.5－56.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)A．2个　　　　　　　　B．3个C．4个D．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致范围是(　　)A．(1，2)B．(2，3)C.和(3，4)D．(4，＋∞)解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，得f(2)·f(3)＜

4、0.故选B.3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋

5、c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√二、易错纠偏(1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；14(4)错用二次函数在R上无零点的条件．1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x

6、x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．答案：02．函数f

7、(x)＝x2－3x的零点是______．解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，即x＝0和x＝3.答案：0和33．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8

8、答案：(0，4)　　　　　　函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)　　　　　　　　B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B.因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，因为函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位

9、于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，14由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)