信息论与编码习题答案

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1、2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？解：四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：四进制脉冲的平均信息量H(X)=logn=log4=2bit/symbol1八进制脉冲的平均信息量H(X)=logn=log8=3bit/symbol2二进制脉冲的平均信息量H(X)=logn=log2=1bit/symbol0所以：四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。2

2、.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设随机变量X代表女孩子学历Xx1（是大学生）x2（不是大学生）P(X)0.250.75设随机变量Y代表女孩子身高Yy1（身高>160cm）y2（身高<160cm）P(Y)0.50.5已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：p(y/x)=.075bit11求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量p(x)p(y/x).025×.075111即：I(x/y)=

3、−logp(x/y)=−log=−log=.1415bit1111p(y)5.012.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少？(2)若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？解：(1)52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：1p(x)=i52!I(x)=−logp(x)=log52!=225.581bitii(2)52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：·1·134p(x)=i13C52134I(x)=−logp(x)=−log=13.208bitii1

4、3C52⎡X⎤⎧x1=0x2=1x3=2x4=3⎫2.4设离散无记忆信源⎢⎥=⎨⎬，其发出的信息为⎣P(X)⎦⎩8/34/14/18/1⎭(202120130213001203210110321010021032011223210)，求(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：14256⎛3⎞⎛1⎞⎛1⎞p=⎜⎟×⎜⎟×⎜⎟⎝8⎠⎝4⎠⎝8⎠此消息的信息量是：I=−logp=87.811bit(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：I/n=87.811/45=.

5、1951bit2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？解：男士：p(x)=7%YI(x)=−logp(x)=−log.007=.3837bitYYp(x)=93%NI(x)=−logp(x)=−log.093=.0105bitNN2H(X)=−∑p(xi)logp(xi)=−.0(07log.007+.093log.093)=.0366bit/symboli女

6、士：2H(X)=−∑p(xi)logp(xi)=−.0(005log.0005+.0995log.0995)=.0045bit/symboli⎡X⎤⎧x1x2x3x4x5x6⎫2.6设信源⎢⎥=⎨⎬，求这个信源的熵，并解释为什么⎣P(X)⎦⎩2.0.019.018.017.016.017⎭H(X)>log6不满足信源熵的极值性。解：·2·6H(X)=−∑p(xi)logp(xi)i=−2.0(log2.0+.019log.019+.018log.018+.017log.017+.016log.016+.017log.017)=.2657bit/symbolH(X)>log6=

7、.258526不满足极值性的原因是∑p(xi)=.107>1。i2.7证明：H(X3/X1X2)≤H(X3/X1)，并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。证明：H(X/XX)−H(X/X)31231=−∑∑∑p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)+∑∑p(xi1xi3)logp(xi3/xi1)iii123ii13=−∑∑∑p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1xi2)+∑∑∑p(xi1xi2xi3)logp(xi3/xi1)iii123iii123p(x/x)i3i1