万变不离其宗--数学中的不变性思想

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1、2014年第6期福建中学数学23万变不离其宗——数学中的不变性思想苏建民吴泽民l福建省泉州第五中学2福建省泉州师范学院(362000)茫茫题海学生深陷其中惘然；三载辛苦，一要指出的是，正是这种内在的统一性使得我们能够旦考题变化新颖又往往不知所措而望洋兴叹!近年利用对数函数的性质来简化乘、除运算．类似的题来，福建省的高考、省质检的试题中渗透了一些具目还有：有高等数学背景的题目．这些试题立意深刻、变化例2(2013年高考福建卷·理9)已知等比数新颖，即使第一线的教师也会感到困惑．大干世界列{a}的公比为g，记=1)+l+()+2+⋯+(，尽管变化无穷，却仍然有一定之

2、规．譬如，自然界=l⋯---1m⋯am(n-1)+m(，n∈N)，则以下结中的能量守恒定律反映的是：能量可以从一种形式论一定正确的是转化为其他形式，但在转化过程中能量的总量保持A．数列{}为等差数列，公差为q不变．数学作为自然科学基础的一门科学语言，必B．数列{}为等比数列，公比为q然对此现象有所反映．正所谓万变不离其宗，尽管C．数列{Cn}为等比数列，公比为q‘数学问题中有着千变万化的变换形式，但真正反映其数学本质的却是在变换过程中保持不变的性D．数列}为等比数列，公比为质．德国数学家F．Klein在其著名的Erlangen纲领中，本题以课本习题：“设}是等差

3、数列，证明正是以这种不变性思想来刻画几何学的定义．当今S1=a1+日2+⋯+，=an十l++2+⋯+，=中学数学中，几何学的新课改体现的就是这样一种d+a+⋯+仍为等差数列，并求出公差．”理念．本文拟以近年来福建省的高考、省质检中的为背景，改编成对应的等比数列的问题．利用习题一些试题，尤其是压轴题为例，来说明数学中的不的结论和前述不变性关系，等差对应等比；公差对变性思想在解题中的指导作用．应公比；片断和对应片断积就可以得到答案C．1运算关系中的不变性如果不要求上述的映射_厂()是一一对应，就得例1(2009年省质检福建卷·理15)对于等差到另外一种单向不变性，即

4、两个群之间的同态．比数列{a}有如下命题：“若}是等差数列，a=0，如说：用f(x)=[]表示整数被3除所得的余数这S，t是互不相等的正整数，则有一一—1)=0”．类样一种对应关系，由于两个整数之和被3除所得的比次命题，给出等比数列}相应的一个正确命题余数等于这两个整数被3除所得的余数之和，即是——．+Y】=+[Y]，因此整数的加法运算关系在映射问题的困难在于：一个是减法运算、一个是除f(x)=的作用之下仍然保持不变_厂+J，)=l厂()+法运算，两个不同的运算如何找出它们之间的“共_厂()．性”，对学生的思维具有极大的挑战性，这正是它作例3(2009年高考福建

5、卷·理15)五位同学围为压轴题的原因所在．尽管从表面上来看，它们是成一圈依序循环报数，规定：①第一位首次报出的两种不同形式的运算，但是从运算关系的角度来说，数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位却具有某种内在的统一性．正实数的乘法运算结构同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；与实数的加法结构是“相同的”(这两个群同构)，也②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手就是在同构映射Y(x1=In．之下，乘法运算关系一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循a×b：C与加法运算关系In“+Inb=inC保持不变，即环报到第100个数时，甲同学拍手的总

6、次数为——．f(a×6)=．厂(口)+f(b)．基于这种不变性任容易知道：如果按顺序直接考查每位同学所报出的数a，如果{bn}是等比数列，则=ln6)是等差数列，进由于数据很大难以发现其规律性．但是拍手的次数而有=1，—1)ll1一(，一1)In6=0或1_．需仅与3的倍数有关，利用上述的同态映射f(x)=[X]保24福建中学数学20l4年第6期持加法运算关系不变，可以转化为考查数列整数矛盾．b=f()：[a]的变化规律：【1】，[1]，[2]，[0】，[2]，[2]，保序同构不变性的本质是：在同构映射之下，[1]，[0]，[1】，[1J_．．．容易发现数列6¨

7、以8为周期；拍手像与原像之间保持大小顺序关系不变．对中学数学的次数以4为周期；有五位同学，因此每位同学拍而言，就是利用函数的单调性，把函数值的大小关手的次数以最小公倍数20为周期；而当=16时，系转化为自变量的大小关系．甲同学第一次拍手，由16+20(m一11≤100知甲同学例5(2011年省质检福建卷·理l9)已知函数拍手的总次数为m=5．)⋯等2顺序关系中的不变性(I)求f(x)的单调增区间；前面讨论的是运算结构中的不变性问题，现在(11)设a：l，g(x)=，(x)，问是否存在实数k，考虑中学数学另一类常见的顺序结构(大小关系)使得函数g(x)的图像上任意

8、不同两点的斜率都不小中的