等腰三角形的性质定理和判定定理.doc

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1、一.本周教学内容:等腰三角形的性质和判定 二.教学目标:(一)知识与技能:(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。   (2)能用上述结论进行分析与说理,进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。(二)情感态度与价值观:通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。 三.重点、难点:重点是等腰三角形的性质定理和判定定理   难点是利用定理解决实际问题 四.教学过程:(一)知识梳理   知识点1:等腰三角形的性质定理1  (1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)  (2)符号语

2、言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C   (3)证明:取BC的中点D,连接AD             在△ABD和△ACD中                       ∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2:等腰三角形性质定理2(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)(2)符号语言:∵AB=AC           ∵AB=AC            ∵AB=AC∠1

3、=∠2             AD⊥BC             BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC ∴∠1=∠2            ∴∠1=∠2BD=DC               AD⊥BC   (3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。   说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。   知识3:等腰三角形的判定定理   (1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简

4、写为“等角对等边”)(2)符号语言:在△ABC中∵∠B=∠C    ∴AB=AC   (3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。    在△ABD和△ACD中    ∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC   (4)定理的作用:证明同一个三角形中的边相等。   说明:①本定理的证明还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定义 2、利用定理。 【典型例题分析】基础知识应用题:例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠

5、BAC的度数。   解:∵AP=PQ=AQ(已知)∴△APQ是等边三角形(等边三角形的定义)∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°(等边三角形的性质)∵AP=BP(已知)∴∠PBA=∠PAB(等边对等角)又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下:(1)利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。   (2)利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。  例2.已知:如图,在

6、△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。求证:△DEF是等腰三角形。   证明:∵∠B+∠BDE+∠BED=180°(三角形内角和定理)∠BED+∠DEF+∠FEC=180°(平角性质)∠B=∠DEF(已知)∴∠BDE=∠FEC(等角的补角相等)在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中 (已证)BD=CE  (已知)∠B=∠C (已知)∴△BED≌△CFE(ASA)∴DE=EF (全等三角形对应边相等)∴△DEF是等腰三角形 (等腰三角形定义) 综合应用题:例3.已知:如

7、图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:OC=OD   证明:∵AB∥CD (已知)∴∠A=∠C,∠B=∠D (两直线平行,内错角相等)∵OA=OB (已知)∴∠A=∠B (等边对等角)∴∠C=∠D (等量代换)∴OC=OD (等角对等边)  例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与AC的位置关系,并证明你的结论。证法一:证明:作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°

8、∴DC与AC的位置关系为:DC⊥AC证法二:证明:延长AC到F,使CF=AC,连结DF∵AB=2AC,AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF说明:法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截

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