大学物理第9章《真空中的静电场》习题解答

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1、9－5一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零。解：设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场R强。Oθ在圆弧上取一弧元ds=Rdφ所带的电量为dq=λds在圆心处产生的场强的大小为dqλdsλdE=k==dϕ22r4πεR4πεR00由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为dEx=-dEcosφ总场强为2πθ−/2−λdφE=cosdϕϕx4πεR∫R0θ/2φOxθ2πθ−/2−λdE=sinϕ4πεR0θ/2λθ=sin2πεR20方向沿着x轴正向。再计算两根半无限长带电直线在圆心产生

2、的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为RE``Ox`λθE=4πεRE`0由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为``θλθE=2Ecos=cosx22πεR20方向沿着x轴负向`当O点合场强为零时，必有E=E，可得tanθ/2=1xx因此θ/2=π/4，所以θ=π/29－6一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求平板所在平面内，离薄板边缘距离为a的P点处的场强。解：建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ=σdx根据直线带电线的场强公式λE=2π

3、εr0得带电直线在P点产生的场强为dλσdxydE==2πεr2πε(/2b+−ax)00ba其方向沿x轴正向。OdxPx由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为b/2σ1E=∫dx2πεb/2+a−x0−b/2b/2−σ=ln(/2b+a−x)2πε0−b/2σb=ln(1+)①2πεa0场强方向沿x轴正向。9－7有一半径为r的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。解:如图所示，在球面上任取一面元2dS=rsinθdθdϕ，其上带电量为2dq=σ⋅dS=σrsinθdθdϕ，电荷元dq在球心处产生的场强的大小为21dq1

4、σrsinθdθdϕdE==224πεr4πεr00方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为π2πσE=E=dEcosθ=dϕ2sinθcosθdθz∫∫0∫04πε0σ=4ε09－9面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如习题9－9图所示。求通过此半球面的电通量。RO解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电荷为q=πR2σ通过球面的电通量为Φe=q/ε0通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε09－10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2>R1

5、)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）rR2处各点的场强。解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E=0，（r

6、（r>R2）9－12一个均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为σ，求：(1)轴线上任一点的电势（用x表示该点至圆盘中心的距离）；(2)利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距O点r处取一宽为dr的细圆环，其带电量为dq=σdS=σ⋅2πrdr，dq在P点处产生的电势为1dq1σπ2rrddV==221222124πε(r+x)4πε(r+x)00所以，整个带电圆盘在P点产生的电势为Rσπ2rrdσ22V=dV==(R+x−x)∫∫04πε(r2+x212)2ε00轴线上的场强分布为dVσx

7、E=−=(1−)xdx2ε2+20Rx9－20电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势；（2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势；（3）由电势梯度算出上述两点的场强。解：电荷的线密度为λ=q/2L（1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为1λdlydU=r14πεr−l0-LoldlLP1x总电势为LλdlU=1∫4πεrl−0−LL−λ=ln(r−l)4πε0l=−Lqr+L=ln8πεLr−L0（2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq=

8、λdl，在线的垂直平分线