杏坛孔门讲数学竞赛QQ群之每日一题.pdf

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1、杏坛孔门杏坛孔门讲数学竞赛QQ群“每日一题”之100题每日一题1：如图，△ABC内接于⊙O，I为△ABC内心，B关于OI的对称点为M，L为IM中点，过L作MI的垂线交AC于N，证明：MI平分∠BMN。MANLOIBC交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题2：求最大的正实数c，使得对任意正整数n及任意非负实数x1、x2、…、xn，都有(∑nixi)(∑nxi2)≥c(∑nxi)3。i=1i=1i=1交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题3：求使得(a+b)3−2a3−2b3为2的幂的全部正整数对(a，b)。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题4：

2、将规格为m×n的矩形屏幕分成mn个单位小方格，其中亮着的小方格恰有k个。如果在某个2×2的正方形中有3个小方格不亮，那么经过一段时间后，第四个小方格也会熄灭。试求k的最小可能值，使得初始时无论哪k个方格亮着，任何时候在屏幕上都至少有一个小方格亮着。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题5：如图，△ABC内接于⊙O，H为△ABC垂心，T为⊙O上一点，满足∠ATH=90°，M为平面上一点，使得∠MHB=∠MBC=90°，BN⊥CM于N，H关于点B的对称点为K，作△KHT的外接圆⊙P，证明：NH切⊙P于H。AMTNOHPCBK交流知识共享智

3、慧杏坛孔门???每日一题6：已知x、y、z∈R，x+y+z=yz+zx+xy，求++的最大1+?21+?21+?2值与最小值。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题7：记τ(n)表示正整数n的不同正因子的个数。正整数数列{an}：a1=a，an+1=τ2(an)，证明：若a>1，则必存在正整数n，使得an=9。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题8：现有2019堆石头，各堆中石头的块数依次为1、2、…、2019。进行如下操作，每次操作可以选定任意多堆，并从其中每堆都拿走同样数目的石块。问要把所有石头都拿走，至少要操作多少次？交流知识共享智

4、慧杏坛孔门每日一题9：如图，△ABC内接于⊙O，T为⊙O上一点，使得四边形ABTC为调和四边形，D为BC上一点，以AD为直径作⊙P分别交AB、AC于E、F，交BC于另一点G，⊙P在E、F处的切线交于点K，作△TKD的外接圆⊙Q交BC于另一点S，证明：∠GTS=90°。APOFEGBCDSTQK交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题10：给定正整数n，设a、b、c为正实数，c2＜ab（1≤i≤n），试求iiiiiin1n)(∑nb)−(∑nc)2]的最小值，并写出何时取到最小值。(∑i=1a2)[(∑i=1aii=1ii=1iibi−c

5、i交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题11：试确定所有满足方程3x2+2·9y=x(4y+1−1)的有序非负整数对(x，y)。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题12：求满足以下条件的正整数r的最大值：集合{1，2，…，1000}的任意5个500元子集中，均存在三个子集，它们的交集中至少有r个元素。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题13：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于E，交⊙O于K，D为BC中点，F为AE中点，KS⊥CF于S，AT⊥BC于T，证明：∠DST=∠TAK。AFOSBTEDCK交流知识共享智慧杏坛孔门33每日

6、一题14：是否存在整系数多项式P(x)满足：P(1+√2)=1+√2，P(1+√5)=2+3√5。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题15：设p0为给定的奇素数，数列a0、a1、a2、…满足a0=0，a1=1，a=2a+(a−1)a，n∈Z+，其中a为正整数。求满足以下两个条件的a的最小值：n+1nn−1（1）如果p为素数，且p≤p0，则p

7、ap；（2）如果p为素数，且p>p0，则p∤ap。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题16：给定正整数m、n，求最小的正整数k，使得在任意k个人中，要么存在2m个人，将他们两两分成m组，每组中的两个

8、人互相认识，要么存在2n个人，将他们两两分成n组，每组中的两人互相不认识。这里认识关系是相互的。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题17：如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，K为AD上一点，使得AK=2DK，BK交⊙O于E，CK交⊙O于F，EF交CB于L，LA交⊙O于T，点N为△ABC的九点圆圆心，证明：NT⊥AL。EATFOKNLBDC交流知识共享智慧杏坛孔门1110每日一题18：证明：对于所有的x∈[，]，存在ai∈{−1，1}（i=1，2，1111111a…，101），均有

9、x101−x

10、≤，其中x0=1，xk=(xk−

11、1+1)k（k=1，2，…，101）。402交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题19：试求所有的正整数n，使得(2n−1)

12、(3n−1)。交流知识共享智慧杏坛孔门每日一题20：已知n为正整数，考虑n×n的方格表，将其中的k个方格染黑，使得对n(1+√8n−7)于任意