1.1 代数基本概念

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时间:2017-11-11

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1、信息工程大学电子技术学院代数基本概念二、群的性质§1.1群的定义和性质一、群的定义三、群的判别一.群的定义定义1.2.1设是一个非空集合,若对中任意两个元素通过某个法则“”,有中惟一确定的则称法则“”为集合上的一个代数运元素与之对应,算(algebraicoperation).元素是通过运算“”作用的结果,我们将此结果记为例1有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算.如果只考虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.剩余类集.对,规定例2设为大于1的正整数,为的模则“+”与“”都是上的代数运算.证我们只要证明,上面

2、规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可.设则于是从而所以+与都是上的代数运算.一个代数运算,即对所有的有如果的运算还满足(G1)结合律,即对所有的有;定义1.2.2设是一个非空集合,“”是上的(G2)中有元素,使对每个,有(G3)对中每个元素,存在元素,使.在不致引起混淆的情况下,也称为群.则称关于运算“”构成一个群(group),记作(unitelement)或恒等元(identity);注1.(G2)中的元素称为群的单位元(G3)中的元素称为的逆元(inverse).我们将证明:群的单位元和每个元素的逆元都是惟一的.中元素的惟一的逆元通常记作.(comm

3、utativegroup)或阿贝尔群(abeliangroup).,有,则称是一个交换群3.群中元素的个数称为群的阶(order),记为.如果是有限数,则称为有限群2.如果群的运算还满足交换律,即对任意的(finitegroup),否则称为无限群(infinitegroup).例3整数集关于数的加法构成群.这个群称为整数加群.证对任意的,有,所以“+”是上的一个代数运算.同时,对任意的,有所以结合律成立.又对每个有从而关于“+”构成群,显然这是一个交换群.所以0为的单位元.所以是的逆元.另一方面,且有注1.当群的运算用加号“+”表示时,通常将的单位元记作0,并

4、称0为的零元;将的逆元记作,并称为的负元.2.习惯上,只有当群为交换群时,才用“+”来表示群的运算,并称这个运算为加法,把运算的结果叫做和,同时称这样的群为加群.相应地,将不是加群的群称为乘群,并把乘群的运算叫做乘法,运算的结果叫做积.在运算过程中,乘群的运算符号通常省略不写.今后,如不作特别声明,我们总假定群的运算是乘法.当然,所有关于乘群的结论对加群也成立(必要时,作一些相关的记号和术语上改变).例4全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1,非零有理数的逆元是的倒数.同理,全体非零实数的集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也.

5、构成交换群.例5实数域R上全体阶方阵的集合,关于矩阵的加法构成一个交换群.全体阶可逆方阵的集合关于矩阵的乘法构成群,群中的单位元是单位矩阵,可逆方阵的逆元是的逆矩阵当时,是一个非交换群.例6集合关于数的乘法构成交换群关于数的乘法构成一个阶交换群.例7全体次单位根组成的集合证(1)对任意的,因为,所以因此.于是“”是的代数运算.的乘法也满足交换律和结合律.(2)因为数的乘法满足交换律和结合律,所以(3)由于,且对任意的,所以1为的单位元.(4)对任意的,有,且所以有逆元.因此关于数的乘法构成一个群.通常称这个群为次单位根群,显然是一个具有个元素的交换群.例8设是

6、大于1的正整数,则关于剩余类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群.证(1)由例2知,剩余类的加法“+”是的代数运算.(2)对任意的,所以结合律成立.(3)对任意的,所以交换律成立.(4)对任意的,且所以0为的零元.(5)对任意的,且所以为的负元.从而知,关于剩余类的加法构成加群.  □例9设是大于1的正整数,记则关于剩余类的乘法构成群.证(1)对任意的,有于是,从而.所以剩余类的乘法“”是的代数运算.(2)对任意的所以结合律成立.(3)因为,从而,且对任意的所以1是的单位元.(4)对任意的,有,由整数的性质可知,存在,使所以,且显然所以为的逆元.从而知,的

7、每个元素在中都可逆.这就证明了关于剩余类的乘法构成群. □注(1)群称为的模单位群,显然这是一个交换群.当为素数时,常记作.易知,(2)由初等数论可知(参见[1]),的阶等于,这里是欧拉函数.如果其中为的不同素因子,那么例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元素的逆元素.易知直接计算,可得表1.2.1由表中很容易看出注观察表1.2.1,我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式(见表1.2.2).表1.2.2123411234224133314244321形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表(multiplicationtable),也称群表(g

8、rouptable)或凯莱表(Cayl

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