函数项级数一致收敛性在级数求和中的应用.pdf

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1、２０１３年７月浙江外国语学院学报Ｊｕｌｙ２０１３第４期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＺＨＥＪＩＡＮＧＩＮＴＥＲＮＡＴＩＯＮＡＬＳＴＵＤＩＥＳＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＮｏ．４函数项级数一致收敛性在级数求和中的应用∗吴梦依，梅雪峰（浙江外国语学院科学技术学院，浙江杭州３１００１２）摘要：利用函数项级数一致收敛的判别法及其性质，对已知的级数进行求和计算．关键词：函数项级数；Ａｂｅｌ一致收敛准则；Ｗａｌｌｉｓ公式中图分类号：Ｏ１７４?２文献标识码：Ａ文章编号：２０９５－２０７４（２０１３）０４－００３３－０３１引言利用函数列或函数项级数定义一个函数，并通过这个函数列或函数项级数的一致收敛性去研究所定

2、义的函数的性质是分析数学中一个重要内容．设｛ｆ（ｘ）｝是定义在实数集Ｄ上一列函数，ｘ∈Ｄ，若｛ｆ（ｘ）｝收敛，则称ｘ是函数列｛ｆ（ｘ）｝的ｎ０ｎ００ｎ一个收敛点，｛ｆ（ｘ）｝全体收敛点集合称为它的收敛域．ｎ［１］３５５定义１设函数列｛ｆ（ｘ）｝与函数ｆ（ｘ）定义在同一个数集Ｄ上，若对任意的ε＞０上，存在一ｎ个正整数Ｎ，使得ｎ＞Ｎ时，对一切ｘ∈Ｄ，都有｜ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）｜＜ε，ｎ则称函数列｛ｆ（ｘ）｝在Ｄ上一致收敛于ｆ（ｘ），记作ｎｆ（ｘ）⇒ｆ（ｘ）ｎ→¥，ｘ∈Ｄ．ｎ［１］３５８定义２设{ｕ(ｘ)}是定义在数集Ｄ上的一个函数列，表达式ｎｕ（ｘ）＋ｕ（ｘ）＋…＋ｕ（ｘ）＋…，ｘ

3、∈Ｄ（１）１２ｎ¥称为定义在Ｄ上的函数项级数，简记为∑ｕ(ｘ)，称ｎｎ＝１ｎＳ（ｘ）＝∑ｕ（ｘ），ｘ∈Ｄ，ｎ＝１，２，…ｎｋｋ＝１为函数项级数（１）的部分和函数列．¥［１］３５７定义３设{Ｓ(ｘ)}是函数项级数∑ｕ（ｘ）的部分和函数列．若{Ｓ(ｘ)}在数集Ｄ上一致收ｎｋｎｋ＝１¥¥敛于Ｓ(ｘ)，则称∑ｕ（ｘ）在Ｄ上一致收敛于Ｓ(ｘ)；若∑ｕ（ｘ）在任意闭区间［ａ，ｂ］⊂Ｄ上一致收敛，ｋｋｋ＝１ｋ＝１¥则称∑ｕ（ｘ）在Ｄ上内闭一致收敛．ｋｋ＝１¥Ｃｎ２ｎ定理１Ｉ＝∑＝１．２ｎｋ＝１（２ｎ－１）２收稿日期：２０１３－０６－１８作者简介：吴梦依（１９９１－），女，浙江椒江人，浙江外

4、国语学院科学技术学院数学系数学与应用数学专业２００９级本科生．∗通讯作者：梅雪峰（１９６９－），男，湖北咸丰人，浙江外国语学院科学技术学院数学系教授，理学博士．３４浙江外国语学院学报２０１３年设ａ，ｂ是两个实数且ａ≤ｂ，在整篇文章里，＜ａ，ｂ＞用来泛指［ａ，ｂ］、（ａ，ｂ）、［ａ，ｂ）、（ａ，ｂ］四种区间．２主要引理为了计算定理１中级数的和，需要下面的引理．¥［２］３２引理１函数项级数∑ｕ(ｘ)在数级Ｄ上一致收敛于Ｓ(ｘ)的充要条件是ｎｎ＝１ｌｉｍｓｕｐＲ(ｘ)＝ｌｉｍｓｕｐＳ(ｘ)－Ｓ(ｘ)＝０．ｎｎｎ→¥ｘ∈Ｄｎ→¥ｘ∈Ｄ［２］３３引理２（阿贝尔判别法）设¥（ｉ）∑ｕ(ｘ

5、)在区间Ｄ上一致收敛；ｎｎ＝１（ｉｉ）对于每一个ｘ∈Ｄ，{ｖ(ｘ)}是单调的；ｎ（ｉｉｉ）{ｖ(ｘ)}在Ｄ上一致有界，即对一切ｘ∈Ｄ和正整数ｎ，存在正数Ｍ，使得ｎｖ(ｘ)≤Ｍ，ｎ¥则级数∑ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）在Ｄ上一致收敛．ｋｋｋ＝１¥［２］４０引理３（逐项积分）若函数项级数∑ｕ（ｘ）在[ａ，ｂ]上一致收敛，且每一项ｕ(ｘ)都连续，则ｎｎｎ＝１ｂ¥¥ｂ∫∑ｕｎ（ｘ）ｄｘ＝∑∫ｕｎ（ｘ）ｄｘ．ａｎ＝１ｎ＝１ａ¥［２］４０引理４（逐项求导）设ｕ(ｘ)在〈ａ，ｂ〉上连续可微，导函数级数∑ｕ′(ｘ)在〈ａ，ｂ〉上内闭一ｎｎｎ＝１¥¥致收敛，又∑ｕ(ｘ)在〈ａ，ｂ〉中某一点ｘ处收敛，则∑ｕ

6、(ｘ)于〈ａ，ｂ〉上也连续可微，且成立等式ｎ０ｎｎ＝１ｎ＝１¥¥(∑ｕｎ（ｘ）)′＝∑ｕ′ｎ（ｘ）．ｎ＝１ｎ＝１２［１］１１６é(２ｍ)！！ù１π引理５（Ｗａｌｌｉｓ公式）ｌｉｍêêúú·＝．ｍ→¥ë(２ｍ－１)！！û２ｍ＋１２３主要结论证明因为¥Ｃｎ¥¥２ｎ（２ｎ）！１１（２ｎ）！！（２ｎ－１）！！１Ｉ＝∑＝∑＝∑２ｎ２２ｎ２２ｎｎ＝１（２ｎ－１）２ｎ＝１（ｎ！）２２ｎ－１ｎ＝１（ｎ！）２２ｎ－１¥ｎ¥２ｎ！（２ｎ－１）！！１（２ｎ－１）！！１＝∑＝∑，２２ｎｎ＝１（ｎ！）２２ｎ－１ｎ＝１（２ｎ）！！２ｎ－１利用引理５的证明过程，对上述式子作如下处理，¥¥π２（２ｎ－１）！

7、！π１２２２ｎ１Ｉ＝∑＝∑∫ｓｉｎｘｄｘ．πｎ＝１（２ｎ）！！２２ｎ－１πｎ＝１０２ｎ－１¥æπö２ｎ－１ｓｉｎｘ因为对∀ｘ∈ç０，÷，０＜ｓｉｎｘ＜１，∑ｓｉｎｘ＝．２è２øｎ＝１１－ｓｉｎｘ记ｎ２ｎｓｉｎｘｓｉｎｘ（１－ｓｉｎｘ）２ｋ－１ｆ（ｘ）＝，Ｓ（ｘ）＝∑ｓｉｎｘ＝，２ｎ２１－ｓｉｎｘｋ＝１１－ｓｉｎｘ显然２ｎ＋１ｓｉｎｘｌｉｍｓｕｐ｜Ｓ（ｘ）－ｆ（ｘ）｜＝ｌｉｍｓｕｐ＝０，（２）ｎ２ｎ→¥ｎ→¥１－ｓｉｎｘ第４期吴梦依，梅雪峰：函数项级数一致收敛性在级数求和中的应用３５¥π１２ｎ－１由引理１