等比级数在函数展开成幂级数中的应用

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1、实践革新企业科技与发展2010年第24期(总第294期)Practice&InnovationEnterpriseScienceAndTechnology&DevelopmentNO．24，2010(CumulativelyNO．294)等比级数在函数展开成幂级数中的应用于洋(东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁大连110025)【摘要】函数的幂级数展开是高等数学的教学重点之一，在解决函数的幂级数展开的问题中，等比级数起着重要的作用。文章介绍了利用等比级数将函数展开成幂级数的常见情形，并给出了具体的例子。【关键词】等比级数；

2、幂级数；展开【中图分类号】o174【文献标识码IA【文章编号]1674一o688(2010)24-013o一03TheApplicationsofGeometricSeriesinExpandingaFunctiontoaPowerSeriesYUYang(SchoddMathematicsandQuantitativeEconomics(矗DongbeiUniversityofFinanceandEconomies。DalianLiaoning110025)【Abstract】Theexpansionoffunction’

3、Spowerseriesisoneofthekeypointsinhighermathematicsteaching．Thegeometricseriesplaysanimpo~antroleinsolvingit．Thearticlegivesabriefaccountontheusualcasesoftheapplicationsofexpand—ingafunctiontoapowerseriesbygeometricseriesandgivesseveralspecificexamples．【Keywords】geo

4、metricseries；powerseries；expansion幂级数是一类特殊的函数项级数，形如∑口X的函数项例2：将函数，()展开成的幂级数(m为正一n=O整数)。级数称为的幂级数，而形如∑(X-X。)”的函数项级数称n=O解：由式(1)知1=为(—)的幂级数。由于幂级数形式简单，而且有很多优越，一l<<～1，等式两边逐项求的性质，如幂级数在其收敛域内可以逐项求导和逐项积分，因此函数的幂级数展开是高等数学教学中的重要内容之一。在将导得_()=y=善眦=如n=o·函数展开成幂级数时，经常用到下面的等比级数。=1+++⋯

5、++⋯=，一1<

6、开成(+4)的幂级数。处有定义且连续，故解：1n(1+)=(一1)n+lf()=—1111，_】<(4)x2+3—x+22)+1x+2一般的，若f)=ln(a+x)，口>0，则根据式(3)有111111一一=一j‘+一2x+4+4)一3(x+4)-232)=lna+ln㈦n+-a

7、后再逐项积分求出其幂级一1喜+)4o，一。数展开式。例6：将函数，)=1ln篝+arctan展开成的幂级数。2将反正切函数展开成幂级数解：例4：将函数f)=arctanx展开成的幂级数。12=。+争：解：(arctan)，=由(1)式得：由式(1)得：，)=∑，一1

8、ln(1+)展开成的幂级数。易见幂级数(_I，当1时收敛，而arcta眦解：在=±1处有定义且连续，故：因，)=(+)，，()1，且，(0)=0，『drctal1(一)，(2)，(0)=1，由式(3)得，()=2(-O"z，一l