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时间:2020-04-12
《湖北省黄冈中学高考数学 典型例题20 不等式的综合应用.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考数学典型例题详解不等式的综合应用不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类:一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法,使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.●难点磁场(★★★★★)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<.(1)
2、当x∈[0,x1时,证明x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<.●案例探究[例1]用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h米,盖子边长为a米,(1)求a关于h的解析式;(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度)命题意图:本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托:本题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值.错解分
3、析:在求得a的函数关系式时易漏h>0.技巧与方法:本题在求最值时应用均值定理.解:①设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得:63用心爱心专心消去②由(h>0)得:所以V≤,当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.[例2]已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时
4、f(x)
5、≤1.(1)证明:
6、c
7、≤1;(2)证明:当-1≤x≤1时,
8、g(x)
9、≤2;(3)设a>0,有-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).命题意
10、图:本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质,以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析:本题综合性较强,其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解,以及对条件“-1≤x≤1时
11、f(x)
12、≤1”的运用;绝对值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局.技巧与方法:本题(2)问有三种证法,证法一利用g(x)的单调性;证法二利用绝对值不等式:
13、
14、
15、a
16、-
17、b
18、
19、≤
20、a±b
21、≤
22、a
23、+
24、b
25、;而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.(1)证明:由条件当=1≤x≤1时,
26、f(x)
27、≤1,取x=0得:
28、c
29、=
30、f(0)
31、≤1,即
32、c
33、≤1.(2)证法一:依题设
34、f(0)
35、≤1而f(0)=c,所以
36、c
37、≤1.当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1).∵
38、f(x)
39、≤1,(-1≤x≤1),
40、c
41、≤1,63用心爱心专心∴g(1)=a+b=f(1)-c≤
42、f(1)
43、+
44、c
45、=2,g(
46、-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(
47、f(-2)
48、+
49、c
50、)≥-2,因此得
51、g(x)
52、≤2(-1≤x≤1);当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),∵
53、f(x)
54、≤1(-1≤x≤1),
55、c
56、≤1∴
57、g(x)
58、=
59、f(1)-c
60、≤
61、f(1)
62、+
63、c
64、≤2.综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有
65、g(x)
66、≤2.证法二:∵
67、f(x)
68、≤1(-1≤x≤1)∴
69、f(-1)
70、≤1,
71、f(1)
72、≤1,
73、f(0)
74、≤1,∵f(x)=ax2+bx
75、+c,∴
76、a-b+c
77、≤1,
78、a+b+c
79、≤1,
80、c
81、≤1,因此,根据绝对值不等式性质得:
82、a-b
83、=
84、(a-b+c)-c
85、≤
86、a-b+c
87、+
88、c
89、≤2,
90、a+b
91、=
92、(a+b+c)-c
93、≤
94、a+b+c
95、+
96、c
97、≤2,∵g(x)=ax+b,∴
98、g(±1)
99、=
100、±a+b
101、=
102、a±b
103、≤2,函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,因此
104、g(x)
105、在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由
106、g(±1)
107、≤2得
108、g(x)
109、≤2,(-1<x<1.当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤
110、0,∵
111、f(x)
112、≤1,(-1≤x≤1),∴
113、f
114、≤1,
115、f()
116、≤1;因此当-1≤x≤1时,
117、g(x)
118、≤
119、f
120、+
121、f()
122、≤2.(3)解:因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1.63用心爱心专心因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
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