导数在经济中的应用.doc

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1、第七节导数在经济中的应用§7.1经济中常用的一些函数一、成本函数某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳动力，原料，设备等)的价格或费用的总额。它由固定成本与可变成本组成，平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。设产品数量为q，成本为c，若产品生产的越多，成本越高，所以C是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，q只能是整数，所以c的图象如图7－１。３－１7成本函数，３－１８成本函数，q取值为正整数q取值为正数但我们通常将C有图象看成一条通过这些点的连续，对于研究问题更利，如图所示3-18，成本函数通常所具有的一般形状如图3-18，(也有特

2、殊的情形)，c轴上的截距表示固定成本，它是即使不生产也要支出的费用(例如厂房、设备等)成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，这称为规模经济，当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮乏，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长，因此，c(q)开始时是下凹的，后来变成上凹。设C１为固定成本，C2为可变成本，为平均成本，则C＝C１＋C2(q)，(q)＝=＋二、收益函数总收益是企业出售一定量产品所得到的全部收入。平均收益是企业出售一定量产品，平均每出售单产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表

3、示，p与q有关，因此，p＝p(q)，设总收益为R，则R＝qp=qp(q)三、利润函数设利润为L，则利润＝收入－成本，即L＝Ｒ－Ｃ四、需求函数“需求”指的是顾客的购买同种商品在不同价格水平的商品的数量。一般来说，价格的上涨导致购买量的下降。设p表示商品价格，q表示需求量，需求是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求与价格的关系，则q=f(p)是单调减少函数，称为需求函数。若q=f(p)存在反函数，则p=f－１(q)也是单调减少函数，也称为需求函数。根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据(p,q)，常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建经

4、验曲线，有q=b-qpa＞0，b＞0q=k＞0,p≠0q=k＞0,p≠0q=a,k＞0,p≠0q=aea,b＞0五、供给函数“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量，一般说来当价格上涨时，供给量增加，设p表示商品价格，q表示供给量，略去价格以外的其它因，只讨论供给与价格的关系，则q=φ(p)是单调增加函数，称为供给函数。图3-19若q=φ(p)存在反函数，则q=φ－１(q)也是单调增函数，曲线如图。我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线q=ap-ba，b＞0q=kpaka＞0q=aebpa,p＞0六、均衡价格均衡价格是市场上需求量与

5、供给量相等时的价格，在图中是在需求曲线与供给曲线相交的点处的模坐标p=p，此时需求量与供给量q称为均衡商品量。当p＜p时，如图p＝p１，此时消费者希望购买的商品量为q需，生产者愿意出卖的商品量为q供，由q供＜q需，市场出现了供不应求商品短缺，会形成抢购，黑市等情况，从而会导致价格上涨，P增大，因而生产者增加产品的生产，有p→p＋当p＜p时，如同p＜p２处，此时q供＜q需，市场出现了供大于求，商品滞销，自然会导致价格下跌，p减少，有p→p－。总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即p和q，而两条曲线正是在此处相交，这意味者在平衡点处，一种数量为q的商

6、品将被生产出来并以单位商品的价格p销售。§7.2边际分析一、边际分析很多经济决策是基于对“边际”成本和收入的分析得到的。假如你是一个航空公司经理，春节来临，你想决定是否增加新的航班，如果纯碎是从财务角度出发，你该如何决策，换句话说，如果该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收入。设C(q)是经营q个航班的总成本函数，若该航空公司原经营100个航班，则边际成本=C(101)－C(100)=≈C′(100)，因此，很多经济学家都选择边际成本MC定义为

7、成本的瞬时变化率，即边际成本=MC＝C′（q）边际收入=R(101)－R(100)=≈R(100)因而经济学家常常定义边际收入＝MR＝R′(q)因此，比较R′（100）与C′（100），即可决定是否增加航班，所以，一般地，若函数y=f(x)可导，则导函数f′（x）也称为边际函数。＝称为f(x)在［x０，x０＋△x］上的平均变化率，它表示在［x０，x０＋△x］内f(x)的平均变化速度。f′（x０）称为f(x)在点x０处的变化率，也称为f(x)在点x０处的边际函数值，它