导数在经济中的应用(I)

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1、1解：2解：2.2导数在经济中的应用（1）——边际分析案例三[边际成本]设成本函数为：（其中为产量）设初始产量为：当产量由产量的改变量为：成本的改变量为：成本对产量的平均变化率：当产量的改变量很少的时候，即时若存在，则称该极限值为：产量为时的边际成本。边际成本的解释：产量为时的边际成本指的是：当产量在的基础上，再增加或减少一件产品时成本的变化量。2、边际收益：（解释：边际收益是当销量为x的基础上，再增加（或减少）一个单位产品时总收益增加（或减少）的数额。）收益函数的导数。3、边际利润：利润函数的导数。（解释：边际利润是当销量为x的基础上，再增加（或减少）一个单位产品时总利润增加

2、（或减少）的数额。）4、边际需求：需求函数的导数。（解释：边际需求是当价格为p时，价格上涨（或下降）一个单位时，需求量将减少（或增加）的数量。）1、边际成本：成本函数的导数。（解释：边际成本是当产量为x的基础上，再增产（或减产）一个单位产品时需增加（或减少）的成本。）2.2.1边际成本案例2.1设某产品Q单位的总成本为求生产900单位时的总成本、平均成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义。解：当Q=900时：总成本：平均成本：边际成本：当产量为900单位时，再增加（或减产）一单位，需增加（或减少）1.5单位的成本。案例2.22.2.2边际收益设某产品的价格函数为其中P为价格，

3、Q为销售量，求：（1）销售量为15单位时的总收益、平均收益与边际收益；（2）销售量从15单位增加到20单位时收益的平均变化率。解：（1）总收益：⑵2.2.3边际利润案例2.3某工厂进行了大量的统计分析后，得出总利润L(Q)与每月产量Q的关系为：试确定每月产量分别为20t,25t时的边际利润，并解释经济意义。解：经济意义：当每月产量为20t时，再增加一吨，利润将增加50元。当每月产量为25t时，再增加一吨，利润不变。结论：并非产量越大，利润就越高！2.2.4边际需求案例2.4某商品的需求函数为求P=4时的边际需求，并说明其经济意义。解：∴当P=4时的边际需求为：经济意义：当价格为

4、4时，价格上涨（或下降）1单位，需求量将减少（或增加）8单位。2.2导数在经济中的应用（2）——最优化问题一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减)。在开区间I内可导,2.4函数单调性分析引例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为令得到的解称为驻点。例如：对函数令得称为函数f(x)的驻点。∴二、驻点（稳定点）案例2.2（续）设某产品的价格函数为其中P为价格，Q为销售量，求：（3）收益函数的增区间及减区间。解：由（1）可知总收益函数为：令驻点－＋结论：销售量为0到50时，总收益是随销售量的增加而增加，但在销售量大于50，总收益却随着销售

5、量的增加而减少。定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.三、曲线（函数）的凹凸性与拐点定理2.(凹凸性判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数引例2.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸四、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.极值第一判别

6、法且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,点击图中任意处动画播放暂停注意:2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在定义的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,设函数在点处有二阶导数，（1）如果，则在取得极大值；（2）如果，则在取得极小值。且则极值第二判别法（常用）则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值四、闭区间连续函数的最值引例3.求函数在区间上的最大值与最小值。解：①驻点②③将-2和1代入④⑤（步骤1：求驻点）（步骤2：求二阶导数）（步骤3：判断极值）（

7、步骤4：求极值）（步骤5：确定最值）极大值极小值区间端点值案例2.5（平均成本最小化问题）设每月产量为x吨时，总成本函数为求最低平均成本和相应产量的边际成本。解：唯一驻点故x=140是的极小值点，也是最小值点。最低平均成本：边际成本：