计算物理方法(sec3)

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1、第三部分MonteCarlo方法第一节用MonteCarlo方法模拟凝聚态物理系统的基本思想凝聚态系统的随机特性：1.粒子系统量子态的量子随机性2.大量粒子的热统计随机性----适合用计算机模拟第二节随机游动及应用随机游动是一种基于运用[0，1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。早在1906年Pearson就提了“随机游动”的问题。以后随着其理论的逐步完善，随机游动模型在物理学、生物学和社会科学中都得到广泛的应用。许多教科书中都可以找到它在诸如气体分子扩散、液体中悬浮物的布朗运动、量子力学中薛定锷方程的求解、

2、高分子长链的特件研究、求解偏微分方程和数学积分的近似计算等中的成功应用。我们在介绍它的应用之前，有必要首先介绍一下随机游动模型。醉汉的一维行走问题初始：电杆位置x=0，步长l，每一步的取向是随机的，右行几率为p，左行几率为q=1-p。问题：醉汉在行走N步以后，离电杆的距离为x的概率。有了后，可以计算：可用概率理论解析地分析虽然这里用了很简单的解析方法得到上式，但是一般情况下，能精确求解游动问题的技术却不是这样简单。有两种重要的方法可以用于游动问题，它们是查点法和蒙特卡洛方法。查点法：对给定的行走总步数N及总位移x

3、，要求把游动时可能的每一步的坐标和几率都确定下来。从上面的分析可以看出：查点法只有在总步数较小时才可以应用，N比较大时用起来就比较困难了。对比查点法，蒙特卡洛方法就可以克服在游动中的这个困难，具有可操作性。蒙特卡洛方法可以对许多步的游动过程进行抽样。我们以随机游动的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程中的应用作为例子。若该泊松方程及其边界条件为为求解区域D的边界，s为边界上的点。这里我们采用等步长h的正方形格点划分的差分法。在区域D内的任意正则内点o(其相邻的节点都在区域D内)的函数值可以用周围四个邻近点1，2，3，

4、4上的函数值来表示。这个表达式有如下差分方程表示前面所述类型的随机游动或链具有如下特征；它在游走中任一阶段的行为都不被先前游动过程的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机游动过程叫做马尔科夫过程。又因为游动最终会终止在边界上，故而上述的这类游动也称为马尔科夫链。马尔科夫涟正是这样生成相继各状态的，它使得后一个状态在前一个状态的邻近。由此可以知道相继各状态之间的确存在着关联。马尔科夫链是分子动力学中由运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。对统计力学系统进行蒙特卡洛模拟计算将在本章第4节中介绍。另外还有一种

5、非马尔科夫过程。自规避随机游动过程就是属于这一类。在这个过程中任何一步的游动概率都要考虑前面游动的历史，因而游动将有可能在碰到边界前就被强行终止掉。随机游动对一些更抽象的问题也是非常有用的。两个重要的概念随机行走的概念----行走方向的几率----按该几率实现行走路径平均、路径求和、路径积分的概念----某一路径给出所求物理量的一个值----不同路径给出不同值-----对所有路径给出的值求平均第三节量子MonteCarlo方法量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量、我们有分布密度函数的关系式其中，为归一化常数

6、，因此波函数也被称为几率幅度。人们很自然地想到可以利用蒙特卡洛方法来求解量子力学问题。用于求解量子系统的薛定諤方程的蒙特卡洛模拟方法通称为量子蒙持卡洛方法。在实际应用中主要有变分蒙特卡洛方法(VMC)，路径积分蒙特卡洛方法(PIMC)和格林函数蒙特卡洛方法(GFMC)等。在本节我们将介绍路径积分量子蒙特卡洛方法和变分量子蒙特卡洛方法，并对格林函数MonteCarlo方法作入门的了解。一、量子力学回顾量子力学的基本方程是薛定锷方程：为微观体系的哈密顿算符。对微观粒子，其哈密顿算符可以写为为势函数算符。求解哈密顿算符

7、所对应的能量本征态的波函数和能量本征值是量子力学的基本内容。若知道初始态的波函数为，波动方程则有唯一的波函数解及以后时刻的几率密度。从费曼的观点来看，一个粒子在某个时刻t，某空间位置x的波函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。即上式中的称为“传播子”。它表示在初姑时刻，空间位置点的波函数值对下一时刻，在x点上的波函数值的贡献强度。该传播子可以表示为如果为与时间无关的哈密顿算符的本征态波函数，它满足的薛定锷方程为于是：其中：于是：假定该等式在延拓到t为虚值时仍成立，令，则有当足够大时，特别是在时(

8、是基态能量，为第一激发态的能量)，上式的右边主要是来自能量最小的基态能量的贡献。如果我们取并忽略其他的贡献项，则有于是：利用归一化的要求，基态波函数绝对值的平方可用传播子表示为我们现在必须计算传播子。将时间间隔分为个等时间间隔的小区间，则此间隔为，并且，()。根据完备座标表象的关系式有：取连续极限得到其中常数，为沿路径的经典作用量。上式表示传播子是由连接初态和末态的所有路