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1、第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用分6秒华南理工大学本章安排§SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态§MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，§MIMO系统的动态扩展§鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学本章重点§精确线性化的含义§精确线性化的主要思想§输入输出精确线性化§状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学精确线性
2、化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项,因此这种线性化不仅是精确的,而且是整体的,即线性化对变换有定义的整个区域都适用。2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题。2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学微分几何回顾§切空间§向量场§李括号、李导数§分布和协分布§Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对
3、合的。----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO系统的输入输出线性化§单输入单输出仿射非线性控制系统()()nnx&=fx+gxu⎫x∈R,f,g是R上充分光滑的向量场⎬，y=h()x⎭h是充分光滑的非线性函数y&=Lh(x)(+Lhx)ufg1Lh()x≠0时，u=()−Lh()x+v⇒y&=vg()fLhxgLh()x≡0？g2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO系统的输入输出线性化§
4、相对阶对于单输入单输出系统5.1，当x∈U时，如果存在整数γ使得0i()γ−1()LLhx≡0,∀x∈U,i=0,L,γ−2;LLhx≠0gfgf则成系统在点x具有严相对阶γ。0§与线性系统的对应x&=Ax+bu⎫⎬y=cx⎭2()−1cbcAbcAbCsI−Ab=+++L23sssγ−2γ−1cb=cAb=L=cAb=0,且cAb≠0时系统有相对阶γi()iLLhx=cAb,i=0,1,2,Lgf2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学例5.1考虑下列二阶非线性系统⎛x2⎞⎛0⎞x&
5、=⎜⎜⎟⎟+⎜⎟uxx3⎝−2−1⎠⎝1⎠如果输出函数为y=h(x)=x,则可得1∂hLh(x)=g(x)=0g∂x∂hLh(x)=f(x)=xf2∂xLLh(x)=1gf因此，对于该输出，系统在x0为任何值时有相对阶22012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO非线性系统的标准形§SISO非线性系统在x相对阶γ≤n0§李括号∂g∂fadg=[]f,g=f()x−g()xf∂x∂x∞()nLλ=LLλ−LLλ，λ∈CR[]f,gfggf§结论5.1k00⎧LLh(x)≡⎫⎧Lkh(
6、x)≡⎫gfadg⎨⎬⇔⎨f⎬⎩0≤k≤μ,∀x∈U⎭⎩0≤k≤μ,∀x∈U⎭2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO非线性系统的标准形Φ(x)=h(x)⎫§定义1()()⎪Φ2x=Lfhx⎪⎬M⎪()γ−1()Φx=Lhx⎪γf⎭§结论525.2（部分坐标变换）导数dΦ(x)(i=1,2,L,γ−1)在U中是线性无关的。i§i+j=−1LLjh(x)=(−1)γ−1−jLLγ−1h(x)≠0当γ时，adigf0gf0f⎡dh(x0)⎤⎡0LLadγf−1gh(x0)⎤⎢()⎥
7、⎢()⎥⎢dLfhx0⎥[]()()γ−1()⎢0Ladγf−2gLfhx0*⎥gxadgxLadgx=0f0f0⎢⎥⎢M⎥MM*⎢γ−1()⎥⎢γ−1⎥⎣⎢dLfhx0⎥⎦⎢⎣LgLfh()x0**⎥⎦2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO非线性系统的标准形§结论5.3假设单输入单输出非线性系统具有相对阶γ，则向量场γ−1g,adg,L,adg是线性无关的（γ≤n）。ff§定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换⎡h(x)⎤⎢()⎥Lhx⎢f⎥⎡h(x)⎤⎢M⎥⎢⎥⎡η1⎤
8、Φx⎢Lγ−1h()x⎥⎢Lfh()x⎥=⎢M⎥:→⎢f⎥,令ξ＝,η⎢⎥⎢M⎥⎢η1⎥⎢−1⎥⎢η−⎥⎢⎥Lγh()x⎥⎣nγ⎦M⎢⎣f⎦⎢⎥⎢⎥η⎣n−γ⎦2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用华南理工大学SISO非线性系统的标准形ξ&=ξ⎫12&⎪ξ=ξ23⎪M⎪⎪⎬()5.29ξ&=b(ξ,η)+a(ξ,η)uγ⎪η&=q()ξ,η⎪⎪yξ⎪⎭=1⎭其中b()Lγha()LLγ−1hq()(q
