（浙江专用）高考数学第九章平面解析几何8第8讲直线与椭圆、抛物线的位置关系教学案.docx

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1、第8讲　直线与椭圆、抛物线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥

2、曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝＝

7、y1－y2

8、＝.3．与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)

9、AB

10、＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．[教材衍化]1．(选修21P80A组T8改编)已知与向量v＝(1，0)平行的直线l与双曲线－y2＝

11、1相交于A，B两点，则

12、AB

13、的最小值为________．解析：由题意可设直线l的方程为y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以

14、AB

15、＝

16、x1－x2

17、＝4≥4，即当m＝0时，

18、AB

19、有最小值4.答案：42．(选修21P72练习T4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

20、PQ

21、＝________．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

22、PQ

23、＝

24、PF

25、＋

26、QF

27、＝x1＋1＋x

28、2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：8[易错纠偏](1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题；(3)错用双曲线的几何性质．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交　　　　　　　　B．相切C．相离D．不确定解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.2．如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y2＝－2px(0＜p＜14)和圆(x－4)2＋y2＝9分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆

29、相切，则当

30、AB

31、·

32、CD

33、取得最大值时，直线AB的方程为________．解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得＝1或7，又0＜p＜14，故p＝2，设直线AB的方程为x＝－t(0＜t＜3)，则直线CD的方程为x＝4－t，则

34、AB

35、·

36、CD

37、＝2·2＝8(0＜t＜3)，设f(t)＝t(9－t2)(0＜t＜3)，则f′(t)＝9－3t2(0＜t＜3)，令f′(t)＞0⇒0＜t＜，令f′(t)＜0⇒＜t＜3，故f(t)max＝f()，此时直线AB的方程为x＝－.答案：x＝－3．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b

38、＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．解析：由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即b2＞2ac，所以c2－a2＞2ac，即e2－2e－1＞0，所以e＞1＋.答案：(1＋，＋∞)　　　　　　直线与椭圆的位置关系(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，经过椭圆C上一点P的直线l：y＝－x＋与椭圆C有且只有一个公共点，且点P的横坐标为2.(1)求椭圆C的标

39、准方程；(2)若AB是椭圆的一条动弦，且

40、AB

41、＝，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．【解】　(1)因为P(2，)在椭圆上，故＋＝1，同时联立，得b2x2＋a2＝a2b2，化简得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，由Δ＝0，可得a2＝12，b2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为y＝kx＋b1，联立得(4k2＋1)x2＋8kb1x＋4(b－3)＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝，由＝

42、AB

43、2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)[(x

44、2＋x1)2－4x1x2]，得b＝3(1＋4k2)－，故原点O到直线AB的距离d＝，所以S＝·，令u＝，则S2＝－＝－＋9.又因为u＝＝4－∈[1，4)，当u＝时，S＝9，当斜率不存在时，△AOB的面积为，综上所述可得△AOB面积的最大值为3.判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(