消点法在解题中的应用

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1、2015年第4期l3消点法在解题中的应用金磊(西安交通大学附属中学，710054)中图分类号：O123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2015)04—0013—03消点法是一种遵循“后出现的点先消(3)图形不能简化时，适当计算：在最简去”原则的几何定理机械证明法，是一种化化的图形中，考虑将结果转化成数量关系，必繁为简的化归方法⋯．一言以蔽之，消点法要时可采用适量的计算来完成最终的证明，的主要思路是“简化图形，将结论转化成更本文通过两道例题展示消点法的应用．简单的图形中的性质或结论”．其实这是解例1在凸四边形ABC

2、D中，已知AD上决几何问题的一个基本而重要的想法，其基CD于点D，AB-l_衄于点B，AE_l_BD于点本步骤如下：E，点H、，分别在边AD、AB上，且满足(1)画出精确图，弄清楚已知、求证和各CEH一CHD：90。．元素生成的先后顺序；CEI一／CIB=90。．(2)发掘图形的基本性质，尽可能地简证明：△HIE的外接圆与直线BD相化图形：消去一些“高级”的点，转化成“低切．[]级”的点的关系，将复杂图形的求证结果转(第55届IM0)化到更简单的图形中去；【思路分析】(1)要按题意叙述画出精确收稿日期：2014—09—30修回日

3、期：2015一O1—12图形并不容易，难点在于怎么利用已知中的数a，式①、③中的n均为奇数)．将如上2m次操作合并称为“一轮操设A、为多边形的两个相邻顶点．作”．自点A开始，按顺时针方向操作a个顶由于每一轮操作可以使黑白相邻的两点点，再按顺时针方向操作接下来的a个顶点，颜色互换，因此，经过有限轮操作，总可使同⋯⋯当这样的操作进行m次后，据式③，知色的点成为多边形的连续顶点．点A的颜色被改变了偶数(n+1)次，从而，于是，当多边形初始总共有偶数个白点颜色不变．而其余所有2010个顶点均改变时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑了奇

4、数(n)次，即均改变了颜色．点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点均变再自点曰开始，按同样的方法操作m次成黑色．后，点的颜色不变，其余所有2010个顶点类似地，若给定的正多边形初始总共有均改变了颜色．奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，于是，经过上述2m次操作后，多边形恰可以使多边形顶点均变成白色，而不能均变有A、两个相邻顶点均改变了颜色，其余所成黑色(只需将黑点赋值为+1，白点赋值为有2009个点的颜色不变．一1，证法便完全相同)．14中等数学两个式子确定点H、，的位置．假设图形已经作出(如图1)．CABL图2设EC的中点为

5、0．显然，K、D、0、C四点共圆．则OKD=OCD．类似地，OLA=OCB．例1欲证式①即证先分析点日的几何性质．A—K一A—LE’由CEIl一CHD=90。不难发现：若一方面，在△KAL中，由正弦定理得过点E作EH的垂线，与AD交于点．，，则AKsin0sinBCOCHD=CEH一90o=／CEj．AL—sinOKA—sinDCO‘K从，，而，，，一，，．_二，一、日、E、C四点共圆，且JH为直另—方面，径，圆心K为CE的中垂线与AD的交点．KEKCDOsinBCo由此，可用尺规作出点日、，了．LELCsinDCoBo‘设CE

6、的中垂线与AD、AB分别交于点故欲证式②，只需证明OD=OB，这样又K、L．则以点K为圆心、KE为半径的圆与AD消去了点K、，得到图3．的靠近点A的交点即为且类似地，得到点，．(2)在图1中，欲证△IEH的外接圆与BD相切，需证线段HE、IE的中垂线的交点C在AE上，即需证AKE、A加的平分线与AE交于同一点．由角平分线定理，知需证：丝图3KELE．’①、这样就成功地消去了点日、，，得到图2．(3)只需在图3中，由AD上CD于点D，在图2中，需证式①成立．AB上CB于点B，AE上BD于点E，0为CE2015年第4期l5的中点，证

7、明OD=OB即可．这是显而易见接圆半径，这样就能消去三个小圆和o0，得的：取AC的中点P，显然，PD=PB，且PO／／到图5．AE，则POj-DB，即PO为DB的中垂线，故OD=DB．从而，原命题成立(当然也可不添辅助线，直接用中线长公式结合勾股定理计算得到)．【注】本题是第55届IMO的第三题，中国队的六名队员中只有两位得到了满分．若按消点法简化图形，最终水落石出，只需在图3中证明BO=OD．这表明，本题的本质非常简单，只是经过层层包装，让人望而生畏罢了．Q例2已知P为定圆o0上的一个动图5点，以P为圆心作半径小于o0半径的圆

8、厂，(3)在图5中，已知点N、Q在以豫为直与o0交于点T、Q．设豫为圆厂的直径，分径的圆厂上，且RQ=RM=PM=NM=口，设别以尺和P为圆心、RQ为半径作圆，设两圆圆，的半径为尺．需要证明△rqP的外接圆与点Q在直线艘同侧的交点为，以为半径r=TN．圆心、MR