高考中导数应用的新变化——用导数探讨函数图象的交点问题

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1、万方数据·复习参考·十。?歆'7(2007年第12期)19高考中导数应用的新变化——用导数探讨函数图象的交点问题438400红安县二程镇红安大赵家高中彭春齐观察近几年高考试题，其中导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题；②函数的单调性和单调区间问题；③函数的极值和最值问题；④不等式证明问题；⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平，但在方向基本没变的情况下，又有所创新，导数命题创新有两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数；二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质(单调性、最值、极值)转向运用导数进

2、行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等综合研究，实际上就是导数考查函数图象的交点个数问题．如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题?本文将通过对高考题的讲解来介绍具体的解题方法．例1已知函数．厂(戈)=一咒2+8石，g(咒)=6l眦+，n．(1)求以戈)在区间[￡，￡+1]上的最大值危(￡)；(2)是否存在实数m，使得，，=厂(省)的图象与)，=g(髫)的图象有且只有三个不同点?若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．解(1)．厂(石)=一石2+8z=一(算一4)2+16当￡+l<4，即￡<3时以咒)在[￡，￡+1]上单调递增，^(f)=以f+1)=一(￡+1)2+8(￡

3、+1)=一￡2+6f+7．当￡≤4≤t+l，即3≤t≤4时，．}l(f)=八4)=16当￡>4时以菇)在[t，￡+1]上单调递减，危(f)=以t)=一￡2+8t．f—t2+6¨7，‘<3，综上，^(￡)={16，3≤f≤4，【一t2+8t．￡>4．(2)’．’函数y=，(咒)的图象与y=g(省)的图象有且只有三个不同的交点，．‘．令／．(省)=g(省)，．‘．g(并)一以搿)=O．·．‘髫>0，．‘．函数妒(菇)=g(菇)，一八龙)=茹2—8髫+6ln茗+m的图象与省轴的正半轴有且只有三个不同的交点．·．·妒弘)地_8+詈=半：垫_必(菇>o)，当菇∈(0，1)时，妒’(菇)>0，妒

4、(菇)是增函数；当戈∈(1，3)时，妒’(菇)<0，妒(菇)是减函数；当搿∈(3，+∞)时，妒’(髫)>0，妒(石)是增函数；当z=1或算=3时，妒7(茗)=0．．’．9(戈)极大值=妒(1)=m一7，妒(菇)极小值=9(3)=，n+61n3—15．’．’当算——帕+时，妒(菇)一一∞，当戈_+∞时，妒(z)_++∞．．·．要使妒(菇)=0有三个不同的正实数根，必须且只须『妒(石)极大值=，n一7>0，【妒(菇)极小值=，n+6ln3—15

5、n3)．(分析草图见下图1)’)～。0}'少70Nx图l图2图3引申1如果(Ⅱ)中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个交点”怎么解答呢?前面相同，只需把后面改为妒(戈)扳，J、值=m．+6ln3一15>0或妒(菇)极大值=，n一7<0，即m>15—6ln3或m<7，函数)，=，(算)与y=g(石)的图象有且只有一个交点(分析草图见图2和图3)．引申2如果(Ⅱ)中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢?前面相同，只需把后面改为9(省)极小值=，n+6ln3一15=0或9(髫)极大值=，，l一7=0，即m=15—6lIl3或m=7时，函数)，=，(菇)

6、与y=g(菇)的图象有且只有两个不同的交点(分析草图见图4和图5)、＼J／’0，X少7—0fVx图4图5万方数据20，中‘7般．7(2007年第12期)·复习参考·从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=八戈)的图象与函数y=g(戈)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数9(戈)=／(戈)一g(石)；②求导妒7(髫)；③研究函数妒(z)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；④画出函数妒(髫)的草图，观察与菇轴的交点情况，列不等式：⑤解不等式得解．解题的关键是运用数形结合思想来研究问题．下面用这几个步骤来完成2006年四川卷第21题例2(四川卷第21题)已知

7、函数八x)=菇3+3似一1，g(石)=厂(筇)一似一5，其中，(咒)是八戈)的导函数．(1)对满足一1≤口≤1的一切口的值，都有g(菇)