清华大学几代期末考试试卷及答案.docx

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1、清华大学大学几何与代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1311.若05x0，则________。122x1x2x302．若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足。x1x2x303．已知矩阵A，B，C(cij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。a11a124．矩阵Aa21a22的行向量组线性。a31a325．n阶方阵A满足A23AE0，则A1。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（）2.零向

2、量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组a，a，，a中，如果a1与a对应的分量成比例，则向量组a，a，，a线性相关。12mm12s（）01004.A1000，则A1A。（）000100105.若为可逆矩阵A的特征值，则A1的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且A2，则AAT（）。①2n②2n1③2n1④42.n维向量组1，2，，s（3sn）线性无关的充要条件是（）。①1，2，，s中任意两个向量都线性无关②1，2，，s中存在一个向量

3、不能用其余向量线性表示③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页④1，2，，s中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意n个n1维向量线性相关②任意n个n1维向量线性无关③任意n1个n维向量线性相关④任意n1个n维向量线性无关4.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆5.若1，2，3，4是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（）①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，

4、共63分)xabcd1.计算行列式axbcd。abxcdabcxd3012.设ABA2B，且A110,求B。014110021343.设B0110,C0213且矩阵满足关系式X(CB)'E,求。0011002100010002a11224.问a取何值时，下列向量组线性相关？111,2a,3。2121a22x1x2x335.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1x2x32解时求其通解。共3页第2页12136.设149010,2,3,4.求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向113703

5、17量用该极大无关组线性表示。1007.设A010，求A的特征值及对应的特征向量。021五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且AAI，，证明AI0。其中I为单位矩阵。A1共3页第3页试题答案一、填空题1.52.13.ss，nn4.相关5.A3E二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003(xabcd)bxcd(xabcd)0x(xab

6、cd)x1001bcxd000x2.211522(A2E)BA(A2E)1221，B(A2E)1A4321112233.123410000123，B)'2100CB012(C321000001432110001000'12100'12100CB1210，XECB121001210121共3页第4页4.a1122a1，a2，a31a11(2a1)2(2a2)当a1或a1时，向量组a1，a2，a3线性相228211a22关。5.①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c200016.

7、121312131213(a1，a2，a3，a4)4901001420142113703410001616031703170013131002010200110000则ra1，a2，a3，a43，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a42a12a2a37.100EA010(1)3002100010特征值1231，对于λ1＝1，1EA000，特征向量为k0l002001五、证明题共3页第5页AIAAAAIAIAIA∴2IA0，∵IA0共3页第6页